В областях (I, III) это бегущие плоские волны, а в области (II)- затухающая волна.

Движение частиц через потенциальный барьер. Туннельный эффект.

Рассмотрим одномерное движение. В этом простейшем случае уже проявляются принципиальные отличия движения микрочастиц от классического. При одномерном движении рассеяние означает изменение направления движения на противоположное. Пусть на пути частиц расположен потенциальный барьер конечной ширины, в области барьера и вне его

Рис. 1.3 Конфигурация потенциальной энергии.

потенциальные энергии частицы постоянны, но эти потенциальные энергии различаются на конечную величину. Мы предположим, что на границе потенциальная энергия меняется скачком (рис.1.3). В реально встречающихся условиях переход, конечно, плавный. Выберем систему координат так, чтобы ось x была параллельна направлению движения частицы. Изменение потенциальной энергии по оси x описывается формулой

.

На рисунке горизонтальная стрелка показывает начальное направление движения частиц, а ее положение по вертикали - энергию частиц.

В случае, когда полная энергия частицы E больше ее потенциальной энергии U₀ в области II, на границе происходит частичное рассеяние. Рассмотрим ситуацию, когда E < U₀. Классическая частица, подходя к барьеру, высота которого больше ее полной энергии, отражается от него. Пройти через такой барьер, т.е. через область, в которой ее кинетическая энергия стала бы отрицательной, она не может.

Рассмотрим квантовомеханическое решение. Всю область изменения переменной x разобьем на три (см. рисунок). Поскольку при заданных условиях потенциальная энергия U не может быть записана в виде аналитической функции, мы напишем уравнение Шредингера отдельно для областей (I), (III) (где потенциальные энергии одинаковы, U₀ = 0) и для области (II) и найдем решения в обоих случаях, т.е. функции Ψ_{1, 3} и Ψ₂. На границе при x = 0 в силу непрерывности волновой функции и ее производной приравняем Ψ₁ и Ψ₂ и их первые производные:

для областей (I, III)

, (1.6)

для области (II)

, (1.7)

где m и E – масса и полная энергия частицы, соответственно. Введем обозначения

(1.8)

Уравнения приобретают вид

(1.9)

Общие решения уравнений (1) таковы:

(1.10)

В областях (I, III) это бегущие плоские волны, а в области (II)- затухающая волна.

в области (III) потенциал постоянен, отражения нет, и коэффициент b₃ = 0.

Коэффициент прохождения D:

где v - скорость частицы. Она одинакова для всех частиц в областях I и III.

Волновая функция (рис.1.2) отлична от нуля во всех трех областях. Внутри барьера она экспоненциально затухает, поэтому вероятность прохождения значительно меньше единицы. Это прохождение сквозь запрещенную классической механикой область и называют "туннельным эффектом".

Коэффициент прохождения через барьер прямоугольной формы

. (1.11)

Эта формула показывает, во-первых, что коэффициент прохождения не равен нулю, во-вторых, его величина очень сильно зависит от ширины барьера a.

Прошедшая волна зависит также от соотношения высоты барьера и энергии частиц, от ширины барьера и его формы.