Явление полного внутреннего отражения

Явление полного внутреннего отражения, как правило, рассматривается на основе известных формул Френеля, следующих из основных уравнений классической электродинамики, при условии, что волновые векторы падающей, отражённой и преломлённой волн являются действительными. При полном внутреннем отражении это условие не выполнено, формальное использование формул Френеля с комплексными волновыми векторами приводит к правильным конечным результатам, но в процессе вывода теряется геометрический смысл произведения волнового вектора на комплексное значение косинуса угла преломления как проекции вектора на рассматриваемое направление, что не позволяет считать получаемые результаты обоснованными.

В настоящей работе требуемые результаты получены без использования комплексных значений тригонометрических функций и без нарушений геометрического смысла проведённых вычислений, что полностью обосновывает физико-математическую модель явления.

С теорией явления полного внутреннего отражения плоской гармонической электромагнитной волны на границе раздела двух диэлектриков можно познакомиться по классической монографии Дж.А. Стрэттона [1]. Его результаты основаны на известных представлениях о распространении электромагнитных волн в однородных изотропных средах [2-6]. Заметим, что в работе М. Борна и Э. Вольфа волновой вектор плоской гармонической электромагнитной волны может принимать комплексные значения, но действительная и мнимая составляющие этого вектора принимаются параллельными друг другу [2]. В учебниках теоретической физики Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшица по электродинамике сплошных сред в общем случае допускается возможность различных ориентаций в пространстве действительной и мнимой частей волнового вектора [3,4], но при рассмотрении явления полного внутреннего отражения волновой вектор преломлённой волны имеет единственное направление, поскольку его действительная часть обращается в нуль. В учебнике Д.В. Сивухина [5], как и в упомянутых выше источниках, формулы Френеля, полученные для случая «регулярного» явления преломления-отражения плоской гармонической электромагнитной волны на плоской границе раздела двух диэлектриков, формально распространены на случай полного внутреннего отражения. Автором монографии [5], в частности отмечено, что при этом геометрический смысл тригонометрических функций угла преломления теряется: синус угла преломления (закон Снеллиуса) превышает единицу, косинус угла преломления приходится рассматривать как комплексную величину, модуль волнового вектора, умноженный на косинус угла преломления, теряет смысл проекции вектора на направление нормали к поверхности раздела сред, относительный показатель преломления становится комплексной величиной, фазовая скорость распространения электромагнитной волны становится комплексной величиной. Заметим, что последнее обстоятельство не позволяет считать конечные результаты исследования строго обоснованными.

Цель настоящего исследования – провести анализ явления полного внутреннего отражения плоской гармонической электромагнитной волны на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков, не прибегая к использованию комплексных значений тригонометрических функций углов преломления. В этом отношении настоящая работа методологически является продолжением работ авторов [8,9].

Анализ баланса нормальных составляющих плотностей потоков энергии (векторы Умова-Пойнтинга), как правило, проводят для осреднённых по времени действительных величин. При этом оказывается, что нормальная осреднённая компонента вектора Умова-Пойнтинга падающей волны равна по величине нормальной осреднённой компоненте вектора Умова-Пойнтинга отражённой волны, а нормальная осреднённая компонента вектора Умова-Пойнтинга преломлённой волны равна нулю [1-6]. Вместе с этим, преломлённая электромагнитная волна реально существует как неоднородная волна [7].

В настоящей работе помимо анализа баланса нормальных составляющих плотностей потоков энергии (векторы Умова-Пойнтинга) для осреднённых по времени действительных величин проведено исследование баланса нормальных составляющих плотностей потоков энергии (векторы Умова-Пойнтинга для мгновенных действительных величин), что позволило выявить естественный источник существования неоднородной преломлённой электромагнитной волны.

Система уравнений классической электродинамики в диэлектрической (непроводящей) однородной изотропной среде имеет вид:

. (1)

В уравнениях (1) использованы общепринятые обозначения. Плоская гармоническая волна может быть описана с использованием понятия «комплексная амплитуда»:

, (2)

где - постоянная комплексная амплитуда, - волновой вектор, - круговая частота волны, - радиус-вектор точки наблюдения. Ниже круговую частоту принимаем постоянной действительной величиной, а волновой вектор – постоянной, возможно комплексной векторной величиной. После подстановки выражений для векторов электромагнитного поля вида (2) в систему уравнений (1) получаем «алгебраическую» систему уравнений:

. (3)

Круговая частота волны и волновой вектор связаны между собой дисперсионным уравнением

. (4)

Здесь - квадрат скорости распространения электромагнитной волны в вакууме, - «абсолютный» показатель преломления среды, определённый по условию как действительная положительная величина. Действительные значения волнового вектора характерны для однородных электромагнитных волн. Дисперсионное уравнение (4) допускает существование комплексной формы волнового вектора

, (5)

для электромагнитной волны в непроводящей среде, при этом уравнение (4) приобретает форму системы двух уравнений

, (6)

где векторы и являются действительными величинами, ортогональными друг другу ( - угол между рассматриваемыми векторами).

Заметим, что распространённое представление волнового вектора в комплексной форме [2] с условием совпадения пространственной ориентации действительной и мнимой составляющих является частным случаем, в рассматриваемой ситуации (непроводящие среды) такое представление влечёт необходимость обращения в нуль одного из слагаемых. Для падающей и отражённой волн в нуль обращаются мнимые составляющие, а для преломлённой волны – действительная составляющая волнового вектора. Ниже это будет показано как результат рассмотрения условий сопряжения решений для волнового электромагнитного поля в первой среде (падающая и отражённая волны) и во второй среде (преломлённая волна).

Предположим, что электромагнитная волна падает на плоскую границу раздела двух диэлектриков из первой среды и частично проникает во вторую среду, в декартовой системе координат граница раздела описывается уравнением , ось направлена во вторую среду, ось направлена так, чтобы проекция волнового вектора падающей волны на это направление была положительной, ось достраиваем таким образом, чтобы система координат оказалась «правой». Физические величины отражённой волны отметим с помощью нижнего индекса 1, физические величины преломлённой волны отметим с помощью нижнего индекса 2, физические величины падающей волны оставим без нижнего индекса.

Пространственная ориентация волновых векторов , и в общем случае должна быть определена отдельно для действительных и мнимых составляющих, реализовать это условие можно, задавая углы падения, отражения и преломления для действительных компонент волновых векторов и мнимых компонент волновых векторов соответственно в «действительной» плоскости падения, определяемой ориентацией вектора , и в «мнимой» плоскости падения, определяемой вектором .

Электромагнитное поле должно удовлетворять известным условиям сопряжения на поверхности раздела двух сред. Эти условия должны быть выполнены для произвольного момента времени и для произвольной точки поверхности раздела. Если векторы электромагнитного поля имеют структуру (2), то следствием условий сопряжения является требование совпадения мгновенной фазы колебаний при условии :

, . (7)

Из этих условий следует

, , . (8)

Принимаем (по условию), что падающая волна является однородной

. (9)

Цепочку соотношений можно удовлетворить, если выбрать подходящим способом систему декартовых координат ( ).

Легко видеть, что должны быть выполнены следующие условия:

(10)

Если предположить, что , то справедливы дисперсионные уравнения

. (11)

Поскольку , вектор параллелен оси , но при этом векторы и взаимно ортогональны, значит, вектор параллелен оси , т.е. . В этом случае справедливо соотношение

. (12)

Поскольку величина определена как действительная векторная величина, полученный результат позволяет заключить, что отражённая волна не может быть неоднородной:

(13)

Если отражённая волна является однородной, то справедливы соотношения

(14)

- модули волновых векторов падающей и отражённой волны одинаковы, а угол падения равен углу отражения.

Преломлённая волна предполагается неоднородной

, (15)

вектор направлен параллельно оси , вектор ему ортогонален, т.е. направлен параллельно оси , значит, . В этих условиях легко получить соотношения:

. (16)

Модуль вектора должен быть действительной положительной величиной, т.е. явление полного внутреннего отражения может иметь место только при выполнении условия

, (17)

где - относительный показатель преломления, - предельный угол.

Дальнейшее исследование связано с установлением зависимостей между комплексными амплитудами векторных электромагнитных волн, его удобно проводить отдельно для s-поляризованной и р-поляризованной падающих волн.

S-поляризация падающей волны.