Гидродинамическое подобие

Критерий подобия можно вывести: анализом размерностей физических величин; подобным преобразованием уравнений конвективного переноса субстанций.

Рассмотрим вывод критериев гидродинамического подобия подобным преобразованием уравнения движения вязкой жидкости для нестационарного потока Навье-Стокса:

Выполним подобные замены

– локальное накопление импульса во времени.

локальное накопление импульса за счёт сил инерции.

характерный (определяющий) геометрический размер, например, эквивалентного диаметра трубы, эквивалентного диаметра межтрубного пространства кожуха трубчатого теплообменного аппарата, эквивалентного диаметра зернистого слоя и т.д.

локальное накопление импульса за счёт сил гравитации.

локальное накопление импульсаза счёт сил гидростатическго давления.

локальное накопление импульса за счёт сил внутреннего трения (вязкости) жидкости.

Для получения критериев гидродинамического подобия будем составлять отношения полученных комплексов:

Re = критерий Рейнольдса (мера соотношения сил инерции и вязкости в потоке жидкости).

Ho = критерий гомохронности (мера соотношения локальных накоплений импульса за счёт сил инерции и во времени (для нестационарного потока) в потоке жидкости)

Fr = критерий Фруда (мера соотношения сил инерции и гравитации в потоке жидкости)

Eu = критерий Эйлера (мера соотношения изменения сил гидростатического давления и инерции в потоке жидкости)

Re, Ho, Fr, Eu – основные критерии гидродинамического подобия. Равенство этих критериев в сходственных точках и в сходственные моменты натуры и модели – необходимое и достаточное условие их гидродинамического подобия.

Кроме основных критериев гидродинамического подобия применяют также производные критерии. В процессе естественной конвекции (движения жидкости за счёт разности плоскотей) определить скорость жидкости практически невозможно, и её исключают:

критерий Галлелея (мера соотношения сил гравитации и вязкости в потоке жидкости)

критерий Архимеда (мера соотношения сил тяжести, вязкости и подъёмной (выталкивающей) в потоке жидкости)

Тепловое подобие

Критерий теплового подобия можно вывести подобным преобразованием уравнения конвективного переноса теплоты Фурье-Кирхгофа:

локальное накопление теплоты во времени (A)

локальное накопление теплоты за счёт конвекции (B)

локальное накопление теплоты за счёт кондукции (теплопроводности) (C)

Разделим (С) на (А):

Fo = – критерий теплового подобия Фурье (мера соотношения локальных накоплений теплоты за счёт кондукции и во времени) – выражает нестационарность потока

Разделим (В) на (С):

Pe = – критерий теплового подобия Пекле (мера соотношения скоростей теплопереноса за счёт конвекции и кондукции в потоке жидкости)

Рассмотри тепловое подобие в турбулентном потоке жидкости с учётом граничных условий:

скорость и температура жидкости в ядре потока

локальная скорость и температура жидкости на поверхности стенки

В данном случае конвекция усложняется в следствие образования пограничного пристенного гидродинамического ламинарного слоя толщиной . Это провоцирует появление пограничного теплового слоя ( ). В ядре потока тепло переносится преимущественно конвекцией (роль теплопроводнотси мала). В пограничном слое конвекция затухает, и тепло переносится преимущественно кондукцией, скорость которой намного ниже скорости конвективного переноса теплоты. В ядре потока настолько интенсивное перемешивание, что локальные скорости и температуры жидкости выравниваются во всех точках объёма ядра.

Тепловой потто в пограничном слое описывается законом Фурье:

где коэффициент теплопроводности жидкости [ ],

F – v верхность теплообмена,

градиент температуры.

Тепловой поток из ядра потока к поверхности стенки описывается уравнением теплоотдачи (охлаждения) Ньютона:

где α – коэффициент теплоотдачи[ ].

Для стационарного потока: (А)

Выполним подобное преобразование (А):

(B)

(C)

Разделим (С) на (В):

Nu = критерий теплового подобия Нуссельта (мера соотношения скорости теплопереноса за счёт теплоотдачи из ядра потока к поверхности стенки (совместно конвекцией и кондукцией) и теплопроводности в потоке жидкости)

Чем больше Nu, тем интенсивнее теплоотдача.

Кроме основных используют также производные критерии теплового подобия. Например:

критерий Прандтля (мера соотношений скоростного и теплового полей (локальных скоростей и температур) в потоке жидкости)

Критерий Прандтля характеризует соотношений толщин пограничных гидродинамического и теплового слоёв. Для газов , т.е. толщины теплового и гидродинамического слоёв примерно одинаковы. Для жидкостей .

Кроме того применяют ещё один производный критерий, аналог критерия Архимеда (для теплопереноса в условиях естественной конвекции):

критерий Грасгофа (мера соотношения сил тяжести, вязкости и подъёмной в потоке жидкости).

С применением теплового подобия определяют основные размеры теплообменных аппаратов, например, кожухотрубного теплообменника.

Вначале определяют коэффициенты теплоотдачи теплоносителей в трубном и межтрубном пространстве аппарата, при этом используют критериальное уравнение теплоотдачи:

Nu = f(Re, Pr) – для вынужденной конвекции

Nu = f(Gr, Pr) – для естественной конвекции

Далее вычисляют коэффициент теплопередачи:

уравнение аддитивности термических сопротивлений.