Правило преобразования компонент векторов.

В основе определения вектора лежит правило преобразования компонент векторов. Аналитическая форма записи этого правила наиболее проста и компактна при использовании тензорных (координатно-индексных) обозначений. Обозначим декартовы координаты точки трехмерного пространства (x,y,z) через , орты координатных направлений через , а проекции произвольного вектора на соответствующие оси координат через . Тройка векторов образует базис трехмерного пространства, поэтому вектор можно представить в виде:

(1)

В силу взаимной ортогональности ортов , k=1,2,3 имеем:

, (2)

где - символ Кронекера.

Рассмотрим две декартовы системы координат: К с базисом и К′ с базисом . В обеих системах используется одна и та же единица измерения. Произвольный вектор будет иметь различные представления в каждой из рассматриваемых систем,

(3)

в системе К и

(4) в системе К′. На рисунке 1 вектор расположен для простоты в плоскости xy .

Очевидно, что должно выполняться следующее соотношение

. (5)

Умножим правую и левую части этого соотношения скалярно на орт :

. (6)

(Соотношение проверяется непосредственным вычислением).

Заметим, что скалярное произведение ортов равно , где символом обозначен угол между направлениями соответствующих осей.

Введем обозначение , тогда можно записать:

(7)

Легко видеть, что правая часть соотношения (7) представляет собой умножение матрицы _ik на вектор-столбец f_i, т.е. операцию, известную из курса линейной алгебры.

Из полученного соотношения следует, что компоненты вектора в системе координат К′ линейно связаны с его компонентами в системе координат К. Заметим, что представления вектора в той или иной системе координат равноправны. Именно это обстоятельство позволяет оперировать с векторными величинами безотносительно к конкретной координатной системе, т.е. в символической форме записи.

Повторяя рассуждения, благодаря которым получено соотношение (7), применительно к известному представлению вектора в системе координат , можно получить соотношение для обратного преобразования компонент вектора (т.е. из системы К′ в систему К):

, (8)

где - элементы матрицы обратного преобразования = =cos( _{i, k} ).

Очевидно, что двойной последовательный переход из системы К в систему К′ и снова в систему К должен привести к тождественному результату.

. (9)

Отсюда следует, что

, (10)

только в этом случае получается тождество . В левой части соотношения (10) легко узнать операцию умножения матриц, а соотношение (10) в целом позволяет заключить, что матрицы и являются обратными по отношению друг к другу. Известно, что существование матрицы, обратной по отношению к матрице , связано с условием , т.е. матрица преобразования a_ik не должна быть вырожденной.

Преобразования, для которых матрицы перехода удовлетворяют условию , переводят правую систему координат в правую и сохраняют неизменными метрические соотношения.

Полученные результаты можно записать в символической форме:

, (11)

где A - матрица прямого, A^-1 - матрица обратного преобразования, а E-единичная матрица.

Не меняя формальной стороны дела, операцию перехода из системы К в систему K′ (т.е. преобразование компонент вектора ) можно рассматривать и как трансформацию вектора в «новую» систему координат и как операцию трансформации вектора в новый вектор в той же самой системе координат. Первая трактовка соотношения (11) известна как “пассивная”, вторая – как “активная” .

Соотношение (11) имеет настолько большое значение, что его объявляют “правилом преобразования векторов” и вектором считают только ту величину заданной структуры, для которой это правило выполняется. Заметим, что при изучении многоэлементных величин более сложной структуры в тензорном исчислении соотношение (11) также играет определяющую роль.

Выше упоминалось, что декартовы системы координат обладают определенными преимуществами по сравнению с любыми другими системами координат при проведении общетеоретических исследований. В подтверждение этого обратим внимание читателя на то, что для декартовых координат элементы матрицы преобразования векторов (и, соответственно ) не зависят от рассматриваемой точки пространства (т.е. постоянны), для криволинейных систем координат их пришлось бы вычислять заново для каждой новой рассматриваемой точки пространства.

В общем случае оказывается, что три компоненты одноиндексного объекта могут

трансформироваться при преобразовании системы координат либо подобно преобразованию радиус-вектора, либо подобно преобразованию дифференциальных множителей в формуле полного дифференциала скалярной величины. Общая форма линейного соотношения (11) при этом остается одинаковой, а компоненты матрицы перехода рассчитываются по-разному. Компоненты первого типа называют контравариантнымикомпонентами вектора, а компоненты второго типа – ковариантными компонентами вектора. В декартовых системах координат они не различаются по величине и размерности (хотя преобразуются по различным правилам), а в косоугольных и криволинейных системах координат могут различаться даже своей размерностью. В практических приложениях часто говорят о проекциях вектора на координатные линии ортогональных криволинейных координат, имея в виду так называемые физические составляющие вектора. Последние представляют собой проекции вектора на направления локально введенной декартовой системы координат, оси которой являются касательными к координатным линиям криволинейной системы координат в рассматриваемой точке пространства. Физические составляющие вектора в криволинейной системе координат не подчиняются правилу (11) и по этой причине не составляют вектор в полном смысле этого определения.