Вывод формул для поля

Прямоугольный волновод

Прямоугольный волновод представляет собой полую металлическую трубу прямоугольного сечения (рис.7). Предположим, что стенки волновода обладают бесконечной проводимостью, а заполняющая его среда - идеальный диэлектрик с параметрами ε и μ. В такой направляющей системе могут существовать волны Е и H и не могут существовать ТЕМ-волны. На рис. 7 показаны используемая система координат и размеры а и b поперечного сечения волновода. Для определенности будем считать, что а≥b, а источники, создающие поле, расположены со стороны отрицательных значений переменной z за пределами рассматриваемой части линии передачи (созданная ими волна распространяется в положительном направлении оси Z). При а>Ь стенки с поперечными размерами а и b будем называть соответственно широкой и узкой стенками прямоугольного волновода.

Так как поперечные составляющие векторов поля выражаются через продольные, то для вычисления поля волн Е и Н достаточно определить составляющую E_mz или Н_тz соответственно. Составляющие Е_тz и H_mz удовлетворяют уравнению Гельмгольца

(1)

Рис.7

где функция w равна E_mz для E-волн и Н_тz- для Н-волн, = k²-β², а β - коэффициент фазы рассматриваемой волны. Правая часть уравнения (1) равна нулю, так как по предположению сторонние источники расположены за пределами рассматриваемой части волновода. Фактически задача состоит в нахождении так называемых собственных волн прямоугольного волновода.

Для решения уравнения (1) применим метод разделения переменных. Запишем функцию w в виде w≡w (x, y, z, t) = w⁰(x, у) exp [I (ωt-βz)]. Очевидно, что функция w⁰(x,y) также удовлетворяет уравнению (1). Представим ее в виде произве­дения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:

w⁰(x,y) = X(x) Y(y).(2)

Перейдем в (1) кфункции w⁰ (x, у) и подставим (2). После деления обеих частей уравнения на произведение Х(х)У(у) получаем

(3)

Так как переменные x и у являются независимыми, то левая часть уравнения (3) представляет собой сумму двух независимых функций, а правая равна постоянной. Это возможно только при выполнении соотношений d²X/dx² + γ_x²Χ = 0 и d²Y/dy² + γ_y²Y = 0, где γ_x и γ_y - некоторые, пока неизвестные постоянные, удовлетворяющие равенству

γ_x²+ γ_y²= (4)

Решая полученные уравнения, находим

Х(х) = A sin (γ_x х) + B cos (γ_xx)_,

У (у) = С sin (γ_y у) + D cos (γ_yy)

где А, В, C и D - некоторые, пока также неизвестные, постоянные.

В случае Е-волн (E_z≠0, H_z=0) функция w-E_mz. Составляющая E_тz является касательной ко всем стенкам волновода. Поэтому должны выполняться следующие краевые условия:

w⁰ (0, y) = 0, w⁰ (x, 0) = 0, (6)

w⁰ (а, у) = 0, w⁰ (х, b) = 0, (7)

где 0≤х≤а, 0≤у≤b. Равенства (6) эквивалентны условиям X(0) = 0 и Y(0) = 0 из которых следует, что B = 0 и D= 0. Из условий (7) вытекают равенства A sin (γ_x) = 0 и C sin (γ_y b) = 0. Постоянные А и С должны быть отличны от нуля, иначе E_тz ≡ 0, что в случае Ε-волн невозможно. Поэтому имеют место соотношения

sin (γ_xa) = 0 и sin {γ_yb) = 0. (8)

Из (8) находим значения постоянных γ_x и γ_y:

Отметим, что в случае Ε-волн значения m = 0иn= 0 не годятся, так как при этом случае E_тz = 0 во всех точках внутри волновода.

Введем обозначение A×C = E_0z и выпишем окончательные выражения для составляющих векторов поля Ε-волн в прямоугольном волноводе:

E_mv (x,y,z)=E⁰_v(x,y)exp(-iβz)_, v = x,y,z, (10а)

H_mv(x,y,z) = H_v⁰(x_,y)exp(-iβz), v = x,y,

где

E⁰_z (x, у) = E_0zsin (m π x/a) sin (n π y/b),

E⁰_х(х, у) = -i (β / ) E_0z (m π x/a) cos(m π x/a) sin(n π y/b),

E⁰_y(x,y) = -i(β / ) E_0z (m π x/b) sin(m π x/a)cos(n π y/b), (10б)

H⁰_х(х, у) = ί (ωε/ ) E_0z (m π x/b) sin(m π x/a)cos(n π y/b),

H⁰_y(х, у) = -ί (ωε/ ) E_0z (m π x/a) cos(m π x/a) sin(n π y/b),

H⁰_y(х, у) = 0.

Индекс m в формулах (10а) и (10б) имеет совершенно разный смысл. В (10а) он указывает, что рассматриваются комплексные амплитуды составляющих векторов поля, а в (10б) индекс т - натуральное число, определяющее значение постоянной γ_x1 как это следует из формулы (10.9).

Значение постоянной находится из формул (4) и (9):

(11)

Зная , определяем критическую длину волны:

(12)

Коэффициент фазы β вычисляется по известной формуле.

Перейдем к анализу свойств поля E-волн, описываемого выражениями (10), выведем формулы для поля H-волн в прямоугольном волноводе. Волны E и H имеют много общих черт, и их свойства удобно анализировать совместно.

В случае H-волн (H_z ≠ 0, E_z=0) функция w=H_mz. Решение уравнения (1) строится так же, как для Ε-волн. Изменяются только краевые условия. Требуя, чтобы касательные составляющие вектора E на стенках волновода обращались в нуль, имеем

(13)

Но искомой является функция w, поэтому выписанные краевые условия следует преобразовать в условия для функции w. Поперечные составляющие вектора Eт выражаются через Hmz. Из этого соотношения и краевых условий (13) после перехода к функции w0(x, у) получаем

(14)

(15)

Равенства (14) эквивалентны условиям Х'(0) = 0 и Y' (0) = 0, из которых следует, что, A=C=0, т.е. Х(х)-В cos (γ_xx) и Y(у) = D cos (γ_уу). Так как B≠0 и D≠0 (в противном случае Hz ≡ 0), то из соотношений (15) вытекают уравнения (.8). Следовательно,

γx=mπ/а, m = 0,1,2… γx=nπ/b, n = 0,1,2… (16).

В отличие от (9) в случае H-волн индексы m и n могут принимать нулевые значения. Однако они не могут равняться нулю одновременно: при этом составляющая Hz не зависит от переменных x и у и вектор E будет тождественно равен нулю, что невозможно. Выпишем окончательные выражения для комплексных амплитуд составляющих векторов поля Н- волн в прямоугольном волноводе:

H_0z(х, у) = H_0z cos(m π x/a) cos(n π y/b),

H_0х(х, у) = i (β / ) (m π /a) H_0z sin(m π x/a) cos(n π y/b),

H_0y(х, у) = i (β / ) (n π /b) H_0z cos(m π x/a) sin(n π y/b),

E_0х(х, у) = ί (ωε/ ) (n π x/b) H_0z cos(m π x/a) sin(n π y/b),

E_0х(х, у) = -ί (ωε/ ) (m π x/a) H_0z sin(m π x/a) cos(n π y/b),

E_0z(х, у) = 0

Аналогично случаю Ε-волн в формулах (17а) индекс m указывает, что рассматриваются комплексные амплитуды составляющих векторов поля, а в формулах (17б) n связано с постоянной γ_x соотношением (16).

Составляющие векторов поля Η-волн найдены с точностью до произвольного постоянного множителя H₀z, определение которого в рамках выбранной электродинамической модели невозможно (см. аналогичное замечание, сделанное при анализе Е-волн).

Легко показать, что поперечное волновое число γx и критическая длина волны λκр в случае Η-волн также определяются формулами (11) и (12) соответственно.

Перейдем к анализу свойств E- и Η-волн в прямоугольном волноводе. Как видно из формул (10) и (17), в прямоугольном волноводе возможно существование различных E- и Н-волн, структура поля которых зависит от значений индексов тип. Каждая пара значений индексов тип определяет свои волны, которые обозначают Еmn (в случае Ε-волн) или Нmn (в случае Н-волн). При этом у Ε-волн m ≥ 1 и n ≥ 1, а у Η-волн один из индексов может равняться нулю. Структура поля в поперечном сечении (при фиксированном значении координаты z) аналогична структуре

Рис.8

стоячей волны, и ее можно характеризовать длинами волн λx = 2а/т и λy =2b/п в направлениях осей X и У соответственно. Индекс m, таким образом, равен числу полуволн (λx/2), укладывающихся на поперечном размере а стенки, параллельной оси X. Аналогично индекс n равен числу полуволн (λy/2), укладывающихся на поперечном размере b стенки, параллельной оси Y. Равенство нулю одного из индексов означает, что поле рассматриваемой волны не зависит от соответствующей координаты (при m = 0 - от координаты х, а при n = 0 - от координаты у).

Изменение всех составляющих комплексных амплитуд векторов E и Η вдоль оси Ζ описывается множителем exp(-ißz). Распространение волны происходит только при λ < λкр (предполагается. что в волноводе отсутствуют потери энергии). Критическая длина волны вычисляется по формуле (12). Она зависит от размеров а и b и от индексов m и n. При увеличении значений индексов m и n и фиксированных размерах а и b значение λкр уменьшается. Наибольшую λκρ среди всех возможных волн при а > b имеет волна Н10. Соответствующая ей λκρ равна 2а. При а = b наибольшую λкр имеют две волны Н10 и Н01. Волну, имеющую наибольшую λкр, называют основной волной рассматриваемой линии передачи (или волной низшего типа). Таким образом, при а>Ь основной волной прямоугольного волновода является волна Н10.

Рис 9

Рис 10

Отметим, что, зная структуру поля волны E11, легко построить структуру поля волны Еmn при любых значениях индексов m и n. Например, структура поля волны Ε21 представляет собой объединение структур двух волн Е11 (рис. 8). Для построения структуры волны Еmn нужно мысленно разделить волновод на mn "волноводных секций". Структура поля в каждой секции будет соответствовать структуре поля волны Е11 а линии векторов будут непрерывно переходить из одной "секции" в другую. Аналогично волну Н20 можно представить как бы состоящей из двух волн Н10.

Структура поля волны Н20 в поперечном сечении показана на рис.11.

Рис 11

При λ>λкр волна не распространяется: образуется стоячая волна, амплитуды составляющих векторов Ε и Η которой экспоненциально убывают вдоль оси Z (в этом случае ß= -i|ß| и exp (-ißz) = exp(-|ß|z). Напомним, что анализ прово дится в предположении отсутствия потерь.