Кольца, полукольца, мера на полукольце

Пусть задано некоторое непустое множество Х. Непустое семейство называется кольцом, если оно обладает тем свойством, что из А K и В K следует А В K, АÈВ K.

Утверждение 1. Пусть K P(X) – кольцо. Тогда для любых А, В К выполнено АÇВ K и А\В K.

Таким образом, кольцо множеств есть система множеств, замкнутая по отношению к взятию суммы и пересечения, вычитанию и образованию симметрической разности. Любое кольцо содержит пустое множество Ø, так как всегда А\A=Ø. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

Кольцо K называется алгеброй, если Х K. Х в этом случае называется единицей кольца.

Утверждение 2. Пусть непустая система K Р (Х) и K ¹Ø обладает свойствами:

1) А K СА K;

2) А, В K АÇВ K.

Тогда K является алгеброй.

Кольцо множеств называется s-кольцом, если оно вместе с каждой последовательностью множеств А₁, А₂,… содержит и их счетное объединение, т.е. . s-алгеброй называется s-кольцо с единицей.

В теории меры часто приходится расширять произвольную систему множеств до кольца (алгебры) или s-кольца.

Теорема 1. Для любой непустой системы множеств S существует одно и только одно кольцо K(S), содержащее S и содержащееся в любом кольце K, содержащем S.

Непустая система S Р(Х) подмножеств множества Х называется полукольцом, если она содержит пустое множество, замкнута по отношению к образованию пересечений и обладает тем свойством, что если А, В S, то найдется конечная система С₁,…,С_n попарно непересекающихся множеств из S, что А\В= .

Отметим, что если S – полукольцо множеств, то для А, В S элементы А\В и в общем случае не будут принадлежать S.

Теорема 2. Пусть S – полукольцо, тогда минимальное кольцо K(S), порожденное S, состоит из непересекающихся конечных объединений множеств из S, т.е. .

Пусть на некотором множестве Х задано полукольцо S Р(Х). Будем говорить, что на S задана мера, если каждому элементу А S поставлено в соответствие вещественное число m(A) R таким образом, что выполнены следующие условия:

1) A S : m(A) 0;

2) если , A, A_i S, то .

Таким образом, мера есть числовая функция множества S, но не является отображением из Х в R.