Свойства меры на кольце

1) монотонность меры. Если А, В K и А В, то m(A) m(B);

2) если А, В К и А ÍВ, то m(B\A) = m(B)-m(A);

3) если А, В K, то m(AÇB) = m(A)+m(B)-m(AÈB);

4) если А, В K, то m(A B) =m(A)+m(B)-2m(AÈB);

5) для любых множеств А, В K выполняется |m(A)-m(B)| m(A B);

6) для любых множеств А, В, С K имеет место следующее неравенство: m (A B) m(A C)+m(C B).

Мера m называется счетно-аддитивной (σ-аддитивной), если для любых А₁, А₂, … S таких, что , A S выполнено .

7) счетная полуаддитивность меры. Пусть А₁, А₂,… K и , А K и пусть мера m – σ-аддитивна, тогда .

Теорема 3. Длина является σ-аддитивной мерой на полукольце S, состоящем из полуинтервалов вида [a;b[.

Меру m, заданную на кольце K, называют непрерывной сверху, если для любой возрастающей последовательности множеств А₁ А₂ … такой, что , где А, А_i K справедливо равенство .

Меру m, заданную на кольце K, называют непрерывной снизу, если для любой убывающей последовательности множеств А₁ А₂ … такой, что , А, А_i K справедливо равенство .

Если мера непрерывна сверху, то она непрерывна снизу и наоборот. Будем называть меру непрерывной, если она непрерывна сверху или снизу.

Теорема 4. Мера m, заданная на кольце K, является σ-аддитивной тогда и только тогда, когда она непрерывна.