Пусть Z – множество целых чисел. Задает ли данная формула меру на Р (Z)

Задача 1. Пусть Z – множество целых чисел. Задает ли данная формула меру на Р (Z), если Ø, если А содержит только отрицательные числа.

Решение. μ не является мерой, т.к. N P(Z) и μ(N)= , т.е. μ не является отображением P(Z) в R.

Задача 2. Пусть Х – произвольное множество. Выяснить, является ли мерой на Р(Х) cледующая функция множеств: μ(Ø)=0; , где – фиксированная последовательность.

Решение. μ является отображением из P(X) в R, т.к. ряд сходится, но не является мерой, потому что не выполнено условие положительности μ. Если множество А содержит только x₂, то μ(А) = –0,25.

Задача 3. Пусть Х = [-1;1[, F : X R и F(x)=sgn x, S – полукольцо, порожденное системой полуинтервалов {[a, b[, -1 a < b <1}. Определим на S функцию μ по формуле μ ([a, b[) = F(b)-F(a). Является ли μ σ-аддитивной мерой.

Решение. Функция F является неубывающей, ограниченной, имеющей одну точку разрыва х = 0. Следовательно, F порождает меру. Покажем, что мера μ не является σ-аддитивной. Рассмотрим полуинтервал [^-1/₂,0[ и представим его в виде счетного объединения попарно непересекающихся полуинтервалов:

.

Тогда μ ( [-½, 0[ ) = F(0) –F(-½) = 0 – (–1) = 1.

Далее рассмотрим ряд

.

Составим последовательность частичных сумм этого ряда S_n=F(a_n) – F(a₁) = (–1) – (–1) = 0. Следовательно, , но

Итак, мы получили, что . Тем самым доказано, что мера μ не является σ-аддитивной. Обратим внимание, что функция F не является непрерывной слева.

Задача 4. Пусть , S – совокупность дуг, содержащихся в X, замкнутых слева и открытых справа , h(x, y) – неотрицательная, непрерывная на прямоугольнике [0, 2π] ´ [0, 1] функция. Пусть функция, заданная на [0,2π]. Положим

.

Задает ли F σ-аддитивную меру.

Решение. Функция F как интеграл Римана с переменным верхним пределом является неубывающей, непрерывной слева, следовательно, μ является σ-аддитивной мерой.

Задача 5. Пусть Х={a, b, c, d}, кольцо K=P(X). Определить на K меру так, чтобы μ({a})=10, μ({a, b})=100.

Решение. Для любого множества A P(X) определим меру по формуле

где – количество элементов во множестве А. Простым перебором показывается, что μ – аддитивная функция.

Задача 6. Пусть μ – мера, заданная на кольце множеств K. Доказать, что если для A, B K и μ(А В) = 0, то μA = μB.

Доказательство. Воспользуемся свойством меры: . Следовательно, , т.е. μA = μB.

Задание 1. Образуют ли кольцо, σ-кольцо, алгебру, полукольцо следующие системы множеств:

1.1. Все ограниченные множества на прямой;

1.2. Все конечные множества на прямой;

1.3. Все счетные множества на прямой;

1.4. Все конечные множества натуральных чисел;

1.5. Все ограниченные замкнутые (компактные) множества на прямой;

1.6. Все всюду плотные множества в R;

1.7. Все множества, дополнения к которым конечны в R;

1.8. Все множества, дополнения к которым счетны в R;

1.9. Все компактные множества в R²;

1.10. Все выпуклые множества на плоскости;

1.11. Все множества, инвариантные относительно вращения вокруг начала координат;

1.12. Множество всех многоугольников на плоскости;

1.13. Все множества на плоскости, инвариантные относительно растяжений и сжатий;

1.14. Все конечные подмножества некоторого множества Х.

Задание 2. Пусть Х={a, b, c}, S = P(X). Построить, если возможно, меру на S так, чтобы:

2.1. m({a}) = 2, m({a, b}) = 5, m({a, b, c}) = 8;

2.2. m({b}) = 2, m({b, c}) = 6, m({a, b, c}) = 7;

2.3. m({c}) = 1, m({a, c}) = 5, m({c, b}) = 8;

2.4. m({a}) = 1, m({a, c}) = 4, m({a, b, c}) = 5;

2.5. m({b}) = 2, m({a, b}) = 3, m({a, b, c}) = 4;

2.6. m({c}) = 1, m({b, c}) = 4, m({a, c}) = 6;

2.7. m({a, b}) = 2, m({b, c}) = 4, m({a, c}) = 6;

2.8. m({a, c}) = 5, m({c, b}) = 6, m({a, b}) = 8;

2.9. m({c}) = 3, m({a, c}) = 5, m({b, c}) = 4;

2.10. m({b, c}) = 5, m({a, c}) = 5, m({a, b, c}) = 10;

2.11. m({a, b}) = 2, m({b, c}) = 6, m({a, b, c}) = 8;

2.12. m({b}) = 1, m({b, c}) = 2, m({a, b, c}) = 5;

2.13. m({a, c}) = 5, m({a, b}) = 7, m({a, b, c}) = 8;

2.14. m({c}) = 3, m({b, c}) = 4, m({a, c}) = 5.

Задание 3. Пусть Х=N. K – кольцо, состоящее из конечных подмножеств N. Задает ли данная формула меру на K?

3.1. ; 3.2. ;

3.3. ; 3.4. ;

3.5. ; 3.6. ;

3.7. – среднее арифметическое;

3.8. – среднее геометрическое;

3.9. ; 3.10. ;

3.11. – среднее квадратическое;

3.12. – среднее гармоническое;

3.13. ; 3.14. ,

где – количествово элементов множества А.

Задание 4. Пусть Х=[-1;1[, S = {[a,b[ X}, m([a,b[) = F(b) –F(a). При каких значениях параметра a эта формула задает меру, σ-аддитивную меру. Если мера не является σ-аддитивной, то указать полуинтервал [a, b [ и его разбиение такое, что .

4.1. 4.2.

4.3. 4.4.

4.5. 4.6.

4.7. 4.8.

4.9. 4.10.

4.11. 4.12.

4.13. 4.14.