ПРОСТРАНСТВО, КАК СИСТЕМА БАЗИРОВАНИЯ

"Система отсчета (система координат) - это схема правил, описывающих каждый математический объект (точку) некоторого класса (пространства) соответствующим упорядоченным множе­ством чисел (компонент, координат): х₁;х₂;…x_n (n-размерность пространства)". [18].

Метасистема координат непосредственно не связана с ма­тематическим объектом и служит базой для описания объекта на­блюдений в среде; она образует групповой базис (базу) объекта наблюдений (Г или G - знак группового базирования). Например, студент - x, учебная группа - У, семестр - z, задание по КПР- s:

G Û (х,у,z,s...).

Поместить объект наблюдений в пространство означает оп­ределить его систему отсчета, ввести понятия меры, расстояния, длины, нормы..., т.е. иметь возможность воспользоваться матема­тическими свойствами различных систем координат.

Преобразование координат допускает две интерпретации: активную (alibi) и пассивную (alias).[18, с.362].

Пусть задан математический объект точкой

x = (х₁. . . . х_n); x' = Т(х); x^a₁ x^a_{2 ….} x^a_n

где

x^b₁ x^b_{2 ….} x^b_{n .}

При активной точке зрения операция Т ставит в соответст­вие каждому объекту x^a одного пространства объект х^b другого пространства.

При пассивной точке зрения операция Т вводится как но­вое описание объекта X в новых координатах.

Активный подход позволяет абстрактные математические отношения представлять числовыми соотношениями. Пассивный приводит к замене системы отсчета, что часто упрощает решение задачи. Это равносильно переходу к новому базису.

Примеры

1 . Переход к логарифмической шкале отсчета.

2. Введение логарифмической меры К. Шеннона для оценки систем­ной функции выбора.

Множество систем отсчета называется системой мер. Пере­ход от одной системы отсчета к другой связан с преобразованием пассивного типа.

Например, решение задачи матричных игр 2 ´ 2 методом линейного программирования (геометрически), в пространстве S- игры, на поверхности отклика или в проекциях [20].

Системы координат, применяемые для физических объек­тов, включаются в процесс преобразования данных эксперимента.

Схема направленного процесса преобразования исходных данных наблюдений состоит из ряда блоков:

1. Блока формирования исходных данных.

2. Блоков составления систем уравнений: топологических и

компонентных.

3. Блока преобразования уравнений в различных системах координат.

3.1. В однородной системе координат. Получают уравнения сечений и контуров на графе схемы многополюсника.

3.2. В неоднородных и сокращенных системах координат. Получают уравнения переменных состояния.

Примеры применения систем координат на физических объектах разной сложности приведены в литературе [2, с.414 -500].

Задачи и упражнения

1. Определите пространство состояний и переходов, приме­няемое в системах массового обслуживания для следующих сис­тем в обозначениях по Кендалу: М/М/1/0, М/М/n/m, G/G/3/3. Опишите математические свойства подобных про­странств [21,33,68].

2. Известна задача о ханойской башне [20]. Приведите про­странство состояний и переходов, описывающее решение этой за­дачи. Определите метрику и расстояние в данном пространстве.

3. Определите понятия однородной, неоднородной и со­кращенной систем координат, применяемых для описания физи­ческих систем (см.[2, с. 413]).

4. Исследуйте изоморфизм физических систем, построен­ных на понятиях поперечной и продольной переменных полюс­ного графа [2, с. 392]. Определите математические свойства вве­денных переменных и их конкретные формы для различных фи­зических объектов.

5. Известны алгоритмы оптимизации задач, решаемых на сетях и графах [66,67]. Приведите примеры задач и определите их топологию.

6. Множество слов длины n из различных знаков (букв, цифр, пробелов...) при соответствующей метрике образуют метри­ческое пространство [2, с. 168].

Предложите соответствующую метрику для расстояния b(х,у), где х, у - отдельные слова, например:

- позиции с одинаковыми символами;

- количество позиций с различными символами;

а) проверьте выполнимость аксиом метрического простран­ства;

б) задайте несколько слов из n символов и найдите рас­стояние между ними;

в) постройте матрицу расстояний для нескольких кортежей из чисел {0,1} длиной m;

г) проверьте свойства метрики на конкретных примерах.

7. Приведите топологии на множествах из ограниченного числа элементов: 1,2,3,4,5.

8. Покажите, что композиция объектов образует линейное пространство при задании законов композиции.

4. ИНФОРМАЦИОННЫЙ УРОВЕНЬ
КОНКРЕТИЗАЦИИ СИСТЕМ – У₆

Информация связана с процессами преобразования и пере­дачи систем знаков. Знаками называют системы конкретных или абстрактных объектов, c каждым из которых определенным обра­зом сопоставлено некоторое значение.

Например, СМО типа G/G/3/3. Значение определяется как позиционная система кодирования по Кендалу [68].

Значение может быть реальным физическим объектом или абстрактным понятием.

Примеры знаковых систем:

- языки общения (естественные и искусственные); системы исчислений (арабская, двоичная, высказываний, предикатов); системы сигнализации(азбука Морзе, флажковая ... ); системы состояний; системы знаков в музыке; любые устройства и их элементы; живые организмы и их элементы; коллективы и организации...

Таким образом, объект любой природы с информационной точки зрения является своеобразным знаком для субъекта.

Семиотикаизучает свойства информационных знаковых систем. Семиотика (с греческого) переводится как "знак". Различают три составляющих семиотики: синтактику, се­мантику и прагматику.

Топологическое описание информационных систем строит­ся на мерах Клода Шеннона: на количестве информации (I), эн­тропии (H), скорости передачи информации [2;32].

4.1. ИНФОРМАЦИЯ КАК СТЕПЕНЬ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Информация в общем случае передается словами разной длины. Количество информации определяется не по ее смысловой ценности, а по длине слова.

Пусть из алфавита A = {a₁;a₂;…;a_m} формируются слова из n букв (x₁;x₂;…;x_n), которые передаются по каналу сообщения.

Ясно, что из m символов можно образовать N слов длиной в n букв: N=mⁿ- это число перестановок с неограниченными повторениями.

Пусть любое из них равновероятно, т.е. p = 1/N.

Тогда неопределенность получения заданного слова растет с ростом N и тем больше информации должно содержаться в конкретном исходе.

Число N является мерой информации. Эта мера не обладает свойствами аддитивности, что неудобно при конструировании формальных систем с поведением.

Если перейти к логарифмической шкале отсчета, то свойство аддитивности выполняется (логарифмическая линеаризация):

J = log N при N = mⁿ имеем J = n*log m.

Удельная информация, содержащаяся в одном символе. определяется как H = J/n = log m.

Если m = 2, то каждый символ будет передаваться как система кодов в виде цепочки символов, состоящей из нулей и единиц.

Каждый разряд несет log₂2 = ld2 = 1 одну единицу информации, называемую битом или двоичной единицей информации.

При m = 10 единица информации называется дитом:

1 дит = lg10 = ld2^x = 3.32 бит.

Примеры

1. Для трафарета 5 ´ 7 определить число бит информации, содержащейся при высвечивании одного символа.

Так как число ячеек 35, каждая из которых несет один бит информации, то получаем в сумме 35 бит информации.

2. Для телевизионного кадра имеем 625 строк, в строке 600 точек, в каждой точке 8 градаций черного; имеем:

I = 625*600*ld8 = 625*600*3 = 1.125*10⁶ бит.

Если вероятности передачи сигналов произвольны, то переходим к формулам К. Шеннона.

Информативность передачи одного символа определяется как математическое ожидание логарифмических составляющих:

h = = M[log P_i] = SP_i * log(1/P_i),

т.е как среднее значение частных энтропий. Величина P_iÎ[0,1]. Чем меньше P_i, тем больше частная энтропия h_i. При P_i=1 частная энтропия равна 0.

О характере функции h_i = f(P_i) = P_i * ld (1/P_i) можно судить по следующему дискретному ряду ее значений:

В случае бинарных сообщений из частных энтропий h_i общая энтропия определяется из соотношения:

H = h(p₁) + h(p₂) при p₁ + p₂ = 1,

т.е. H = -p₁*ld p₁– (1-p₁)*ld (1-p).

Кривая H симметрична относительно точки p₁ = 0.5.

Графики составляющих функций H приведены на рис. П.2.1.

Упражнение

1. В табл. П.2.1. приведены данные x_ср, определяющие код последовательного эксперимента по учету посещения занятий студентом; x_ср определяет относительную степень посещаемости x_срÎ [0;1]. Определить характер кривой H = f (x_ср). Предложить интерпретацию получаемого результата для данной задачи.

2. В табл. П.2.1 имеется оценка априорных знаний студента, определяемая по его зачетке: y_ср Î [3;5].

Требуется нормировать значение y_ср на [0;1] и оценить, подобно x_ср , характер изменения энтропийной меры в этом случае.