СИСТЕМНАЯ ПАРАДИГМА

По определению общая теория систем (ОТC) - наука об универсальных законах и принципах, распространяющихся одновременно на биологические, физические, социальные и др. явления.

До 1960 г. выделялись три ведущие школы в ОТС. Пер­вая связана с именем Людвига фон Берталанфи и его после­дователей (1930 г.). В этой школе ОТС рассматривается как некоторая философия науки, изучающая функциональные междисциплинарные знания. Общая теория систем в начале противопоставлялась классической математике: ”создание математической общей теории систем противоречит, по мысли авторов, основным понятиям общей теории систем”. Развитие дискретной математики снимает это противоречие.

Вторая школа связана с именем Норберта Винера (1948 г.) и его последователей, разработавших кибернетический подход в системных исследованиях на основе понятия управления. Изучение процессов управления имеет междисциплинарный характер. Это основа для информационных управляющих систем и первый реальный пример междисциплинарных исследований в области управления.

Третья школа связана с понятием “сложной системы”. Представители этого направления: Герберт Саймон, Вл. Ив. Вернадский. Сложные системы: социальные, политические, экономические, искусственные и естественные. Идеи оптимизации здесь неприменимы из-за сложности и противоречивости протекающих процессов. В лучшем случае можно выделить типичные ситуации.

Дальнейшее развитие науки и вычислительной техники определило ход развития ряда направлений в теории систем, такие как:

· абстрактная теория систем (Месарович, Такахара) [29];

· информационные системы (К.Эшби) [9];

· динамические системы (Калман, Арбиб) [26];

· системология (Клир) [1].

В системологии Дж. Клира выделяются три периода в истории науки о системах и вводится понятие о втором измерении в науке, т.е. двумерности научных знаний. Рассмотрим эти периоды.

Первый период. Донаучный (до 16 в.), допарадигмальный. Его характерные черты: в основе исследований лежит метод проб и ошибок, здравый смысл, случайный поиск и эв­ристический подход, ремесленничество в лучшем смысле этого слова, сила традиций, дедуктивность рассуждений.

Второй период. Одномерная наука (начало 17 и сере­дина 20 веков.). Развитие эмпирических знаний и научных дисциплин, таких, как физика, химия, математика, механика; опора на эксперимент; "живой опыт" - мера познания. Идет накопление знаний и данных по отдельным наукам.

Третий период -современный. Двухмерность в науке. Дополнительно к опыту, эксперименту появляется второе из­мерение - интегрирование и абстрагирование знаний о сис­темах различной природы. Системная парадигма знаний ста­новится определяющей.

Двухмерность проявляется в изучении отношений са­мого общего вида, пространственно-подобных отношений, толерантности и эквивалентности, управляемости, сложности, инвариантности, вычислимости, формализуемости...

Двухмерность возникла в ходе развития одномерных знаний. Например, в физике можно выделить следующие эта­пы:

· организованная простота (механика);

· беспорядочная сложность (статистическая физика);

· организованная сложность (система знаний).

Итак, одномерность - это преобладание эмпирического подхода (физика, химия, биология...); двухмерность - это пре­обладание рационального подхода (исследование операций, кибернетика, системотехника, системология). Двухмерность, как методология изучения, проникает в современные подходы к освоению одномерных научных дисциплин.

Теория систем является частью теории познания, осно­вой эпистемологической ее ветви.

ОТС зародилась в 1930-х годах; в 1950-х годах сформировалась в научное направление ( в широком смысле слова).

Формализованный аппарат разрабатывался с 1948 г. для задач управления. В 70-х годах предложена абстрактная тео­рия систем на основе алгебраизации математического аппара­та описания общей теории систем.

До 1954 г. (период осмысления) был похож на "заговор молчания" в ученом мире.

В 1954 г. создано "общество исследователей в области общей теории систем" . Организаторы : Л. Берталанфи, Р. Жерар, А. Раппопорт, К. Боулдинг.

В 1968 г. составляющими ОТС по Берталанфи были следующие научные дисциплины:

1. Теоретические (множества, графы, сети, автоматы).

2. Специальные (теории: массового обслуживания, информации, игр, статистических решений, распознавания и классификации).

3. Прикладные (кибернетика, вычислительная техни­ка, системотехника, исследование операций, социальная психология, лингвистика, метасистемы, системы знаний).

В 1996 году подобная классификация не может быть па­радигмой ОТС. Многие дисциплины за это время преврати­лись в самостоятельные научные направления, например, вы­числительная техника, лингвистика. Ряд специальных дисци­плин сформировал прикладное направление в науке, полу­чившее название "Исследование операций и системный ана­лиз". В настоящее время и математика ориентирована на дискретные методы и машинные средства обработки информации.

С другой стороны, системный подход конкретизировал круг задач для теории систем, как методологической состав­ляющей общей теории систем.

Аналогами понятия "теория систем" выступают "эпистемология", "теория познания" со смысловым оттенком познавания, т.е. системология организации познавательного процесса.

Для специальностей 220200 теория систем связана с процессом формирования систем представления и обработки информации, с инженерией знаний.

Задачи и упражнения

1. В приложении П.1 приведено описание объекта фи­зической природы типа "Прессдуктор". Имя объекта и форма была предложена шведской фирмой АSЕА. Объект является простым и надежным чувствительным эле­ментом преобразователей силы (F) и давления (Р) в электрический сигнал. Процесс преобра­зования силового параметра имеет сложный характер электромагнитомеханического взаимодействия трех видов полей: электрического, магнитного и механического.

Ознакомьтесь с данным описанием объекта. На основе
рис. П. 1.2 и П. 1.3; проведите системный анализ объекта.

Вопросы к системному анализу.

1.1. Представьте объект в виде кибернетической системы.

1.2. Определите классы допустимых входных воздействий.

1.3. Сформулируйте цели и задачи исследований (экспериментов).

1.4. Перечислите ПОЗ, связанные с системным анализом объекта.

1.5. Определите предметные области деятельности, связанные с системным анализом объекта.

1.6. Определите возможные каналы наблюдений и воздействий на объект.

1.7. Какие свойства характеризуют объект, как направленную динамическую систему?

1.8. Опишите понятие “идеальный случай” для состояния F(t)=0.

1.9. Являются ли номера отверстий базой для идентификации при описании объекта?

1.10. Определите понятия, введенные для неинтерпретированной общей системы, для рассмотрения объекта наблюдений. При необходимости примените операции конкретизации и абстрагирования.

1.11. Как метаоперации и операции абстрагирования отражаются при описании схемы объекта в случае гармонического воздействия?

2. В приложении П.2 приведено описание объекта, свя­занного с процессом обучения студентов в ВУЗe. Рассматри­вается часть традиционной системы типового учебного про­цесса: лекции, практические занятия, лабораторные работы, зачеты и экзамены. ВУЗ является объектом социальной при­роды, характер процессов в котором в лучшем случае можно свести к описанию вероятностными системами и моделями.

По аналогии с упр.1 примените системный подход для приведенного объекта наблюдений (см. П.2). Конкретизируйте вопросы к системному анализу объекта.

3. Определите толковый словарь исходных понятий тео­рии систем по первоисточникам для следующих понятий: системный подход, системный анализ, объект, субъект, сис­тема, задача, теория, системный анализ, модель. Систему использованных первоисточников выделите из списка литературы, прилагаемого к пособию.

3.1. Рассмотрите эти понятия .как лингвистические объ­екты наблюдений с позиции системного подхода.

3.2. Выделите определяющие свойства объектов наблю­дений, позволяющие объединять их в общем понятии "теория систем".

4. Для исходного понятия, например: "систем общая теория", постройте семантическую сеть, иллюстрирующую систему ссылочных отношений с другими понятиями. Для этого выделите первоисточник с указанной статьей в энцик­лопедии кибернетики [3].

5. В приложении П.3 приведены высказывания на формализованном языке в виде систем уравнений. Определите данные высказывания как отдельные системы и как их ком­плексы. Выделите элементы, отношения, параметры, пере­менные. Какими типами рациональных систем являются данные предложения? Какими средствами дискретной мате­матики можно проиллюстрировать структурность приведен­ной системы высказываний?

ГЛАВА 2. ОТОЖДЕСТВЛЕНИЕ ОБЪЕКТА
НАБЛЮДЕНИЙ С СИСТЕМОЙ

Идентификация объекта связана с абстракцией отождеств­ления. Идентификация - это "установление соответствия распо­знаваемого объекта своему образу (знаку)" [32].

Имя предмета, множество описаний его свойств и отноше­ний, выделение существенных признаков для определения классов понятий и отношений являются средствами "групповой иденти­фикации" объекта наблюдений в среде и между объектами, т.е. являются средствами базирования в смысле {(В_j;b_j)}.

Для идентификации и группового базирования применяют­ся рациональные системы описаний на уровнях У₁;У₂;У₃;У₄.

Французское слово "база" и греческое "базис" означают ос­нову чего-либо, основание, фундамент, в данном случае основа для идентификации объекта наблюдения среди множества других.

От базы, как от основания, можно строить систему описа­ний и моделей объекта наблюдений.

В качестве базиса (базы) используются три понятия:

· групповое описание, идентифицирующие объект наблюдений, как предмет, вещь, событие, мероприятие, исследуемую операцию (Г; G);

· пространственное описание объекта в среде по отноше­нию к другим объектам и процессам, (П или Р);

· временное или время-подобное описание поведения объ­екта в пространстве наблюдений, в пространстве состояний и пе­реходов (В; Т).

Рассмотрим уровни описания объекта для его группового базирования, т.е. отождествления объекта, как части мира, выде­ленной субъектом для наблюдений.

2.1. СИСТЕМА НА ЗНАКОВО-ЛИНГВИСТИЧЕСКОМ УРОВНЕ - У₁

На лингвистическом уровне имена предметов называют термами.

Отношения между термами описываются с помощью функторов.

Итак, множество понятий, связанных с объектом наблюде­ний, разбиваются на два типа подмножеств: на термы и функто­ры.

Знания субъекта об объекте наблюдений формируются в виде множества правильных высказываний. Сами термы и функ­торы также определяются как правильные высказывания.

Под правильным высказыванием понимается утвердитель­ная форма предложения, истинность или ложность которого оп­ределена субъектом логически или операционно (по каналу на­блюдений или каналу абстрагирования).

При описании объекта на уровне У₁ некоторые термы могут варьироваться субъектом, т.е. определяются как константы, задаваемые субъектом в процессе конкретизации наблюдений. Подоб­ные термы в общем случае называются конституэнтами.

В качестве конституэнт выступают, в частности, физиче­ские константы, коэффициенты уравнений, параметры среды на­блюдений и т.п.

Из термов, конституэнт и функторов строят предложения (высказывания), которые могут быть истинными при определен­ных значениях конституэнт.

В общем случае множество высказываний образует систему правильных высказываний (П), часть из которых истинная (Т).

Если конституэнты в Т-высказываниях являются формаль­но определяемыми величинами, то множество правильных выска­зываний Т на множестве П образует теорию.

На лингвистическом уровне (по Месаровичу) система (å₁) определяется как множество правильных высказываний, постро­енных из термов и функторов: [29]

S Û å₁=(A;R)=({термы, конституэнты};{функторы}).

Задачи и упражнения

1. Для работ, проводимых в огороде в мае месяце для кар­тофеля, в таблице Жукова находим следующую систему высказы­ваний.

"В мае продолжают проращивать до посадки поздний кар­тофель. С 1 по 5 мая сажают рассаду раннего картофеля под пленку (на случай заморозков). При температуре почвы +(8-10 С°) сажают клубни по схеме 60´ЗО´6 см; при посадке опыляют зо­лой. 15-25 мая сажают поздние сорта. При росте кустиков в 20 см окучивают, предварительно удобряя и увлажняя почву".

а. Является ли данное множество высказываний правильным в общем случае и по Месаровичу?

б. Выделите термы, конституэнты и функторы. Определите арность отношений, описываемых функторами.

в. Выделите признаки (свойства), как унарные отношения, определяемые прилагательными.

г. Конкретизируйте понятия: объект, субъект, система объ­екта на данном примере.

2. Базовыми понятиями теории систем являются: объект, субъект, системный подход, система, задача субъекта, модель, системный анализ.

…. Известны определения данных понятий по первоисточ­никам.

а. Исследуйте по первоисточникам одно из этих понятий как систему, описываемую с помощью термов и функторов: учти­те, что термами и функторами при описании каждого понятия выступают другие понятия.

б. Определите множество истинных высказываний для ука­занной совокупности понятий, которое можно принять в качестве основы теории систем (на лингвистическом уровне).

в. Предложите описание отношений понятий в данной теории в виде графа: Г(Х;У), где X - вершина графа (понятия); У - ребра графа (отношения между понятиями), петли - унарные свой­ства понятий.

3. Определите отличительные признаки понятий: теория, интуитивная теория, аксиоматическая теория, дополнив систему правильных высказываний о формальных теориях и математиче­ских структурах [65].

4. Теория матричных игр строится на таких понятиях как конфликтная ситуация, игроки, стратегия, пространство страте­гий, ход, выбор, исход, выигрыши, потери, партия игры, функция потерь, правила игры [20; 24].

Постройте систему для описания матричных игр на лин­гвистическом уровне, т.е. как множество правильных высказыва­ний, используя первоисточники, например [20].

5. Имитационное моделирование трехканальной системы массового обслуживания в учебном пособии [21] рассмотрено на конкретной системе типа G/G/3/3.

Составьте описание этой конкретной системы на лингвис­тическом уровне в виде исходного множества правильных выска­зываний, определяющих поведение объекта в среде наблюдений.

2.2. ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ УРОВЕНЬ
ОПИСАНИЯ СИСТЕМЫ - У₂

Система как множество правильных высказываний X мо­жет быть представлена в виде разбиения исходных множеств на подмножества:

X = Æ ;

Каждое подмножество X_i также представляет собой систе­му элементов х_i Î Х_i со своими свойствами и отношениями.

Из множества систем можно сформировать в общем случае систему Х_s, как собственное подмножество указан­ных множеств:

M_s Í M=Х₁ ´ X₂ ´ …Х_n={(X)}, (2.1)

где Х = (х₁, х₂, ... х_n);

X - кортеж, вектор, последовательность (в зависимости от свойств объекта).

Объект X может быть точкой в n-мерном пространстве (математический объект) или описанием конкретного объекта по множеству признаков (быть базой для идентификации объекта).

Итак, система на уровне абстрагирования У₂ представляет собой собственное подмножество (М_S) множества М, определен­ного на прямом произведении множеств Х₁; Х₂; …Хn. При этом решается задача распознавания и классификации термов на уров­не множеств. Функторы определяются в отношениях на множест­вах. Вводится соответствующая система обозначений множеств и их элементов.

Задачи и упражнения

1. Определите на примере таблицы Жукова (см. упр. п.2.1) базовые множества вида Х₁ ´ Х₂ и возможные подмножества Х_s Ì X₁ ´ Х₂. В чем проявляется сходство описаний таблицы Жукова и индикатора символов с числом ячеек m ´ n?.

2. Известно определение множества по Н. Бурбаки: "Множество образуется из элементов, обладающих некоторыми свойствами и находящимися в некоторых отношениях между со­бой или с элементами других множеств".

Пусть объект представляет собой индикатор для визуализа­ции множества символов размера 7 ´ 5. Подобные индикаторы применяются в различных реальных устройствах. Множество элементов индикатора равно 35 и упорядочено в пространстве 5 ´ 7, как показано на рисунке.

Х₂

X3

а. Опишите работу одного из этих устройств в виде системы правильных высказываний.

б. Определите свойства элементов для выделенных на ин­дикаторе трех множеств Х₁ = {1; …7}; Х₂ = {1;...5}; Х₃={1;...35}.

в. Приведите содержательное описание систем типа
М_S Í Х₁ ´ X₂ ´ …Х_n, в которых используется индикатор симво­лов.

г. Понятие "множество" (по Бурбаки) является системой. Проиллюстрируйте это с помощью понятия "граф". Для этого термы определите как вершины графа, а функторы - как петли, ребра или дуги графа.

3. Дано Х = Х₁ ´ X₂ ´ …Х_n = {(х₁;х₂;...х_n)},
определите значение понятий:

Пр_iX; Пр_jХ; Пр_i,l,kХ , здесь Пр - проекция.

2.3. АБСТРАКТНО - АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ УРОВЕНЬ
ОПИСАНИЯ - У₃

Этот уровень абстрагирования - конкретизации связан с математическими объектами типа:

Г: М₁ ´ М₂ ´...М_n ® М_n+1; М Ì N,

где Г- обозначение математической структуры и алгебраи­ческой операции (в зависимости от смыслового оттенка утвер­ждения);

{М}- базовые множества Г структуры (носители структуры);

{´; ®}- обозначение системы отношений, определенной на базовых множествах (произведение множеств и следование);

N - упорядоченное множество элементов, например, множе­ство натуральных чисел, кортеж событий, алфавит символов ....

Конкретизируя систему свойств и отношений, например, в виде наборов постулатов (системы аксиом) получим, в частности, абстрактно-алгебраические структуры типов: группоида, полу­группы, группы, кольца, модуля, тела, поля, решетки ...., которые определяют целые классы формальных систем вида:

S = (M₁; M₂; ;p₁;p₂; ;a₁; a₂);

здесь:

S - алгебраическая система (математическая структура);

{М}- базовые множества определения системы;

{р}- отношения, определенные на элементах множества;

{a}- свойства, образующие систему аксиом К(a) или систе­му истинных утверждений (теорию в смысле лингвистического подхода).

Система отношений {р} может определяться на множествах: R₁;R₂;R₃;...R_n типов отношений, где индекс обозначает "арность" или "местность" отношения:

R₁ - множество унарных /одноместных отношений;

R₂ - множество бинарных /двухместных отношений;

…

R_n - множество энарных /энместных отношений.

С помощью R₁, в частности , описывается общее свойство элементов из данного множества-универсума по выделенному свойству.

Примерами бинарных отношений являются композиции, соответствия, отношения, отображения, в которых паре элементов ставится в соответствие третий элемент [2].

Функции (функционалы, операторы) являются классами объектов, определяемых на различных уровнях отношений:

У = f(x) или f(x,У) = 0 - двухместное отношение;

z = f(x,У) или f(x,У,z) = 0 - трехместное отношение;

q = f(x,У,z) или f(x,У,z,q) = 0 - четырехместное отношение.

Схема представления функции имеет вид направленной или ненаправленной кибернетической системы:

Итак, понятие системы на абстрактно-алгебраическом уров­не конкретизируется с учетом уровней У₁ и У₂. На уровне У₁ оп­ределяется теория, как множество правильных высказываний о свойствах объекта исследований {a}. На уровне У₂ конкретизиру­ется множество элементов и их отношений {М}. Множество под­множеств {М} выбирается в качестве базы. На уровне У_З конкре­тизируется понятие алгебраической операции в виде системы от­ношений {р}.

Задачи и упражнения

1. Свойствами математических объектов, в частности, яв­ляются: рефлексивность (1), антирефлексивность (2), симметрич­ность (3), антисимметричность (4), несимметричность (5),транзи­тивность (6) :
{р₁;р₂; ... р₆} [2] .

Проиллюстрируйте указанные свойства в виде систем от­ношений на графах и на матрицах для множества из 4-х элемен­тов {а,b,с,d}.

2. Известны системы отношений: эквивалентность (1), предпорядок (2), порядок нестрогий (3), строгий порядок (4), то­лерантность (5), доминирование (6).

а. Составьте таблицу свойств для этих отношений в виде алгебраической абстракции операций вида Х ´ Y ® А и Y ´ X ® В
при Х = У = {1,2,3,4,5,6}, если принять, что X - свойства, У - отношения, А = В = {0;1} в смысле "быть или не быть" свойству в данном отношении.

б. Сравните свойства таблиц А и В.

в. Определите модели систем, представляющие указанные отношения на графах и матрицах.

3. В понятиях групповых структур одинакового порядка изоморфизм определяется наличием двух свойств одновременно: инъекции и сюръекции. Говорят в этом случае о биективном (двойном) отображении.

Гомоморфизм имеет место при наблюдении одного из ука­занных свойств и разделяется на мономорфизм (при инъекции) или эпиморфизм (при сюръекции).

Определите изоморфизм понятий и схему соответствий для физических и математических систем, описываемых уравнениями:

L + Ri = V- электрическая система;

ma + kv + ws = F - механическая система;

= f(x) - математическая система.

Определите понятие модели на основе свойства изоморфизма.

4. Для групповых операций мультипликативности и адди­тивности на множестве {а,b,с} запишите алгебраические законы: сочетательный (ассоциативный), переместительный (коммутативный) и распределительный (дистрибутивный). Опре­делите понятия нейтрального и обратного (противоположного) элементов.

5. Алгебраическая система задана таблицей: Х ´ У ® У₁

Здесь Х = У = У₁ = {0,1,2,...6}.

Мощность множеств равна:

= = 6

Таблицу можно рассматривать как одно из возможных вы­сказываний. Какова мощность источника высказываний для сис­темы аргументов X и У?

6. Определите классы отношений и их интерпретацию для системы знаков:

{=; º; ~; «;½½; ^; <; £; ³; >; Î; Í; È; Ç; ¤; Þ; Û} .

Дополните систему знаков известными Вам и выделите не­известные.

7. Алгебраическая система типа Т: А ´ А ® А называется ком­позицией объектов. Композиция может быть представлена таб­лицей или графом композиции, например:

Т0	a	b	c
a	b	c	a
b	c	c	b
c	b	b	c

Постройте граф композиции для следующего комплекса систем Т:

К какому классу алгебраических систем относятся системы
Т₁, Т₂, Т₃?

2.4. ЛОГИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ УРОВЕНЬ
ОПИСАНИЯ СИСТЕМ - У4

Логико-математическая интерпретация алгебраического уровня описания достигается путем идентификации значений ис­тинности и ложности и их модальностей на отрезке [0,1], как универсуме.

Для положительной двухзначной логики без модальностей - это крайние точки отрезка: 0 - ложно, 1- истинно.

При этом значения аргументов и функции определяются на одном и том же множестве {0,1}.

X

Алгебраические структуры, отвечающие подобным функци­ям, имеют вид направленных систем q = f(x).

{q} j x1	q1	q2	q3	q4
0

Логическая операция в общем случае записывается, как ча­стный случай алгебраической:

j: ® N_k; N_k = {0,1,2,3,…,k-1},

где k - значность логики, определяется мощностью N_K .

Для двузначной логики N₂ = {0;1}, т.е. мощность множества = 2, или из уравнения k-1=1, следовательно k=2.

Логическая интерпретация определяет систему отношений элементов множества N_k к областям истинности и ложности. Кроме положительной, различают отрицательную и смешанные типы логик.

Если ввести десятичный эквивалент двоичных наборов и использовать его для упорядоченного описания номеров наборов аргументов и номеров функций, то алгебраической базой описания логического пространства являются алгебраические выраже­ния вида:

j: ® N_m,

где n - число аргументов;

N_n - число наборов аргументов;

N_m - число логических функций.

Для двухзначной логики имеем:

N_n Î {0,2,4,8, … q}; q = 2ⁿ; N_m = {0,2,4,8,16,32 ...,r}; r = 2^q.

Для k - значной логики q = kⁿ и r = k^q.

Таким образом, формально между допустимыми множества­ми значений N_n и N_m для двухзначной логики имеется степенная зависимость вида

Для идентификации функций при n = 4 по десятичным но­мерам удобно использовать модель логического пространства в виде карты Карно:

	XY
ZS
			20			24			212			28
			21			25			213			29
			23			27			215			211
			22			26			214			210

Теоретико-множественные и алгебраические операции при описании функции на логико-математическом уровне конкрети­зируются в наборе логических операций:

R Û {┐; Ù;Ú;┐Ú;¯;┐Ù; / ; ®;«; Å ... }.

Задачи и упражнения

1. Составьте алгебраические системы для следующих логи­ческих операций: отрицание(┐), дизъюнкция(Ú), конъюнкция(Ù), импликация(®), эквиваленция(º). Как называются подобные таб­лицы в математической логике?

2. Для одной из ячеек системы высказываний таблицы Жукова, определяющей краткий план работ в саду и огороде, по­стройте логические формулы, введя соответствующую систему обозначений для множества правильных высказываний.

Сколько ячеек может содержать таблица Жукова? Введите для таблицы Жукова понятие "алгебраическая структура и опера­ция".

3. Номер логической функции задан десятичным числом k из множества {0,.....65531}. Задайтесь числом k. Определите соот­ветствующую этому числу логическую функцию. Воспользуйтесь картой Карно.

4. Составьте таблицу отношений N ® N, N² ® N при N = {0;1}

опр

и N² Û N * N.

Покажите, что логическая интерпретация определяет мно­жество булевых функций от одной или 2-х переменных соответст­венно.

5. Определите изоморфизм диаграмм Эйлера, Венна, куби­ческого графа на примере одной из логических функций.

6. Полные наборы функций определяют изоморфные фор­мы их описания. Покажите изоморфизм логических систем на примерах наборов функций Пирса - Вебба (стрелка Пирса) и функции Шеффера (штрих Шеффера).

7. Определите системное свойство следующих наборов ло­гических функций: {константа 0, отрицание, конъюнкция, дизъ­юнкция}; {отрицание, конъюнкция}; {отрицание, дизъюнкция}; {стрелка Пирса}; {штрих Шеффера}.

8. Определите систему соответствий логических операций, производимых на уровне множеств (У2), и на уровне моделей ма­тематической логики (У4).

9. Известны 11 элементарных логических функций, опреде­ляемых логической формулой и кортежами свойств: (a₁; a₂; a₃; a₄; a₅);

0(a₂;a₃);1(a₁;a₃); (a₁;a₂;a₅);(x₁Lx₂)(a₃;a₄);(x₁Vx₂)(a₃;a₄);
(x₁ ® x₂)(a₁;a₃;a₄;a₅);(x₁»x₂)(a₁;a₃;a₅);(x₁ x₂)(a₂;a₃;a₄;a₅);
(x₁Å x₂)(a₂;a₃; a₅);(x₁/x₂) (все свойства);
(x₁ ¯ x₂) (все свойства).

Дайте лингвистическое определение понятий, записанных выше.

Составьте соответствующую описанию таблицу в виде ал­гебраической операции.

ГЛАВА 3. ТОПОЛОГИЯ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ
УРОВНИ ОПИСАНИЯ ОБЪЕКТА – У₅

Всеобщие формы существования материи определяются понятиями пространства и времени.

Основные свойства материи являются общесистемными: материя несотворима, неуничтожима, вечна и бесконечна.

На уровне описания объекта системой высказываний, пра­вильность которых проверяется историческим опытом людей, ма­терия наделяется следующими свойствами:

1. Это философская категория для обозначения объек­тивной реальности.

2. Основа (субстрат) всех реально существующих в мире свойств, связей и форм движения (всех процессов и явлений).

3. Бесконечное множество всех объектов и систем.

4. Субстанция (сущность), нечто относительно устойчи­вое, существующее само по себе, не зависит ни от чего друго­го.

Итак, объект является частью материального мира, выде­ленного субъектом для наблюдений. Объект участвует в общем движении, расположен в пространстве и проявляет себя во времени.

Движение характерно для объекта и как изменение его внутреннего состояния в пространстве параметров, так и отно­сительно других объектов в метрических пространствах.

На топологических уровнях описания пространство рас­сматривается в свою очередь как система, наделенная опреде­ленными математическими свойствами. Вводятся пространст­венно-подобные отношения: метрика объекта, расстояние меж­ду объектами и между состояниями объекта, системы коор­динат, нормированные пространства.

Объектами математических пространств являются точки, линии, плоскости, поверхности, вектора, числа и их комплек­сы.

Итак, описание системы на топологическом уровне кон­кретизируется по отношениям меры, т.е. вводятся пространст­венно-подобные отношения.