Пример решения задачи

Геометрически решить следующую задачу ВП: найти минимум функции при ограничениях:

Решение. Строим область допустимых решений данной задачи:

а) х₁² + х₂² = 4 - окружность с центром в начале координат и радиусом r= 2. (рис. 4). Область решений неравенства состоит из точек, лежащих внутри этой окружности и на ней самой;

б) х₁ = 2х₂ - прямая, которую можно построить, например, по точкам (0; 0) и (2; 1). Область решений неравенства - полуплоскость, лежащая над этой прямой, включая и саму прямую;

в) х₂ = 2х₁ - прямая, которая строится, например, по точкам (0; 0) и (1; 2). область решений неравенства х₂ ≤ 2х₁ - полуплоскость, лежащая под этой прямой, включая и саму прямую. Таким образом, с учетом условий неотрицательности переменных, областью допустимых решений данной задачи является замкнутый сектор ОАВ (рис. 4).

Теперь построим линию уровня функции z и определим направление убывания z. все линии уровня имеют , т.е. . При получаем линию, уровня - это окружность с центром в точке О₁(1; 1) и радиусом . Ясно, что в любой точке этой линии уровня при перемещении от центра окружности О₁ функция z возрастает, а при перемещении к центру - убывает.

Рис. 4

Таким образом, минимум z достигается в точке (1; 1), (нетрудно убедиться, что точка (1; 1) является стационарной точкой функции z).