Метод половинного деления
Метод половинного деления (метод дихотомии), использующийся для решения задачи (1.1.1), относится к методам нулевого порядка и применяется для унимодальных на некотором начальном интервале (a, b) функций. Он предполагает выполнение двух этапов:
– отделение (локализация) положения локального минимума с целью построения начального интервала неопределенности D0 = (a, b) (в данной работе не рассматривается);
– последовательное уменьшение длины интервала неопределенности (этот этап отражает суть метода).
Уменьшение длины интервала неопределенности методом половинного деления осуществляется следующим образом. Пусть функция f(x) является унимодальной на интервале D0 = (a, b), содержащем х* Î (a, b) – точку искомого минимума функции f(x). Зададим достаточно малое число
e > 0, затем выберем симметрично относительно центра интервала D0 две пробные точки: x1 = (b – a)/2 – e/2 и x2 = (b – a)/2 + e/2. Число e определяет степень различимости этих точек. Построим очередной интервал неопределенности, который содержит точку минимума, используя свойства унимодальной на интервале D0 функции f(x). Очевидно, этот интервал неопределенности D1 будет совпадать с одним из интервалов: (а, x2), (x1, b) или (x1, x2). Следовательно, его возможная наибольшая длина êD1ê = (b – a)/2 + e/2.
Теперь приведем более формальное описание метода половинного деления. Пусть функция f(x) является унимодальной на интервале (a, b), заданы достаточно малые числа e > 0 и d > 0 – требуемая точность определения точки искомого минимума данной функции х* Î (a, b). Тогда метод половинного деления можно записать в виде следующего алгоритма.
1. Задать функцию f(x) и числа а, b, d > 0, e > 0.
2. Если b – a £ 2d Þ перейти к выполнению п. 8.
3. Вычислить с = (a + b)/2.
4. Задать х1 = с – e/2 и х2 = х1 + e.
5. Вычислить f(x1); f(x2).
6. Если f(x1) > f(x2) положить a: = х1.
Если f(x1) < f(x2) положить b := х2.
Если f(x1) = f(x2) положить a: = х1; b : = х2;
7. Перейти к выполнению п. 2.
8. Положить х* = (a + b)/2. Процесс завершен.
Промежуточные результаты работы метода половинного деления удобно заносить в таблицу, аналогичную табл. 1.2.1.
Таблица 1.2.1
Номер итерации | a | b | b – a | х1 | х2 | f(x1) | f(x2) |
… | … | … | … | … | … | … | … |
k |
Дадим общую характеристику метода половинного деления:
– всегда сходится к решению задачи (1.1.1);
– скорость сходимости метода практически линейная. На каждом шаге длина интервала неопределенности уменьшается, после k-го шага процесса она составляет не более (b – a)/2k + (1 - 2-k)e. Нетрудно подсчитать количество итераций, необходимых для уменьшения исходного интервала неопределенности в заданное количество раз. Например, чтобы уменьшить ее не менее чем в 100 раз, потребуется семь итераций;
– на каждом шаге требуется вычисление значений функции f(x)
в точках х1 и х2, которые расположены симметрично относительно центра текущего интервала неопределенности на расстоянии e друг от друга. Число e > 0 рекомендуется выбирать достаточно малым; практически оно ограничено снизу точностью производимых вычислений.
Таким образом, чтобы уменьшить длину исходного интервала неопределенности не менее чем в 100 раз, потребуется вычисление значения функции f(x) в 14 пробных точках. Для сравнения отметим, что можно
последовательно разместить внутри интервала неопределенности 99 точек с интервалом h = 0,01(b – a) и проанализировать значения функции в этих точках (так называемый пассивный поиск). В результате этих действий интервал неопределенности также будет уменьшен в 100 раз, но уже за счет 99 вычислений значений функции f(x). Следовательно, метод половинного деления является более эффективным, чем метод одновременного размещения большого количества пробных точек внутри исходного интервала неопределенности.
Дата добавления: 2021-07-22; просмотров: 357;