Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
В случае одночленной степенной зависимости сил сопротивления от скорости диссипативная функция
будет однородной функцией (m+1) степени от обобщенных скоростей. Отметим, что m = 0 соответствует кулонову (сухому) трению, m=1—силам вязкого трения, пропорциональным первой степени скорости (случай Релея), m = 2 — силам квадратичного сопротивления. В случае малых колебаний системы, в принятом в предыдущем параграфе приближении, следует принять m=1. Тогда имеем
. (5.6)
Сравнивая (5.6) с формулой для кинетической энергии , заметим, что они отличаются лишь коэффициентами и , следовательно, для малых колебаний системы с одной степенью свободы получаем (по аналогии с (5.3), заменяя А(0) соответствующим коэффициентом В(0))
В принятом приближении диссипативная функция имеет вид
(5.7)
(здесь b=В(0)). Уравнение Лагранжа 2-го рода имеет вид
.
Подставляя в него ранее полученные выражения для потенциальной и кинетической энергий, а также для диссипативной функции, получаем дифференциальное уравнение колебаний
,
которое в обычном виде записывается так
, . (5.8)
Это линейное, однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, для решения которого необходимо получить характеристическое уравнение . Корнями уравнения будут служить величины
Естественно рассмотреть отдельно следующие три случая движения.
1. Затухающее колебательное движение (n<k). Если n<k, то корни характеристического уравнения представятся так:
и
и, следовательно, общий интеграл уравнения (5.8) будет:
(5.9)
Составим первую производную по времени
(5.10)
Используем для определения постоянных интегрирования начальные условия: при t=0. Подставляя эти значения координаты и скорости в (5.9) и (5.10), найдем:
(5.11)
или , где для краткости положено
Из уравнения движения следует, что периодически меняет знак, так что движение точки имеет колебательный характер. Период колебания равен
где представляет период свободных колебаний точки при отсутствии сил сопротивления. График затухающих колебаний
Рис 70 |
представлен на рисунке , на рис.70-
τ есть период колебаний. Пунктирная линия, огибающая график
.
Абсолютные величины максимальных отклонений образуют, геометрическую прогрессию со знаменателем . Действительно
Натуральный логарифм отношения двух последовательных амплитуд носит наименование логарифмического декремента; он равен
2. Апериодическое движение (n>k). При достаточно большом сопротивлении, когда , общий интеграл уравнения (5.8) будет:
Движение не будет носить колебательного характера (оно называется поэтому апериодическим). Полученному решению можно придать другой вид, если воспользоваться гиперболическими функциями .
Пусть
.
Тогда
Составим первую производную по времени
и используем для определения постоянных интегрирования начальныеусловия: при t=0. Подставляя эти значения координаты и скорости найдем
(5.12)
Вследствие быстрого убывания показательной функции величина будет весьма мала уже при небольших t, и систему можно практически считать вернувшейся в положение равновесия. Характер движения зависит от начальных условий. Графики движения системы представлены на рисунке 71. В случае а) , в случае б) и в) . Случаи а) и б) соответствуют апериодическому движению первого рода, случай в) — апериодическому движению второго рода.
3.Предельное апериодическое движение ( ).
Общий интеграл уравнения (5.8) в данном случае будет иметь вид
Начальные условия: при t=0. Получим
Рис 71 |
5.13)
График изменения такой же, как и для апериодического движения ( ) .
Рассмотрим пример, разобранный в предыдущем параграфе, но добавим силу сопротивления , действующую на груз m. Функцию Рэлея запишем в виде или, подставляя значение для скорости , получим
В положении равновесия
и дифференциальное уравнение будет иметь вид
или
Здесь .
Если , т.е. , имеем затухающие колебания и решение записывается в форме (5.11), если , то апериодическое движение (5.12),(5.13).
Глава 17.
Дата добавления: 2019-12-09; просмотров: 492;