Применение теории потенциала для решения задач установившегося притока жидкости к горизонтальной скважине

Потенциал точечного стока, горизонтальной дрены и несовершенной галереи в полосообразном однородно-анизотропном пласте. Здесь рассматривается приток к точечному стоку с координатами и [27], расположенному несимметрично в полосообразном горизонтальном однородно-анизотропном пласте с подошвенной водой (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Схема притока к точечному стоку, горизонтальной скважины и несовершенной щели в полосообразном пласте

, (1.1)

где и - функции Дирака, - плотность точечного стока.

Введем потенциал [28]:

, (1.2)

и характеристику анизотропного пласта:

, (1.3)

где - проницаемость по горизонтали, - проницаемость по вертикали.

Тогда уравнение (1.1) принимает вид [28]:

. (1.4)

Кровля и подошва (первоначальная граница раздела) считаются непроницаемыми, то есть имеем:

при , . (1.5)

На контуре питания для простоты принимается:

при , . (1.6)

Уравнение (1.4) с граничными условиями (1.5) и (1.6) можно решить методом интегральных преобразований, применяя последовательно косинус-преобразование и синус-преобразование Фурье с конечными пределами и формулы обращения. Такое решение получается в виде [28, 32]:

; (1.7)

. (1.8)

Формула (1.7) и (1.8) дают распределение потенциала, вызванного точечными стоками или источником в элементе анизотропного полосообразного пласта. Их можно использовать при экспериментировании на щелевом лотке и для горизонтальной дрены.

Можно получить потенциал и для несовершенной щели (трещины гидравлического разрыва пласта) в том же пласте. При этом щель будем рассматривать как линию стоков, расположенных вдоль прямой х=l₁ от z=0 до z=b, при постоянной мощности стока q (рис. 1.1). Тогда потенциал линии стоков определится интегралом [28]:

. (1.9)

Подставляя (1.7) и (1.8) в (1.9), интегрируя последнее уравнение и делая некоторые преобразования, получаем [28]:

; (1.10)

(1.11)

Если b=h₀, то из формулы (1.11) получается выражение для потенциала совершенной щели (трещины) в полосообразной залежи:

(1.12)

Если за высоту горизонтальной дрены принять длину горизонтальной скважины с=πd, произвольно расположенной в пласте, то потенциал такой дрены на единицу ширины потока определится интегралом [28]:

; (1.13)

; (1.14)

. (1.15)

Для вывода формулы для дебита горизонтальной скважины необходимо усреднить потенциал (1.15) (по диаметру ) в вертикальном направлении на отрезке линии стоков, равном длине окружности в соответствии с конвергенцией трещины. Введем следующие безразмерные параметры [28]:

(1.16)

Вводя в формулу (1.15) потенциал Ф₀ на контуре x=1, определяем усредненный потенциал на отрезке линии стоков:

. (1.17)

Внося уравнение (1.15) в (1.17), учитывая (1.16), производя интегрирование и переходя от потенциала к давлению, получаем следующую формулу дебита горизонтальной скважины для одностороннего притока [28]:

(1.18)

(1.19)

. (1.20)

Для двухстороннего притока в формулах (1.19) и (1.20) следует принять: .

Дебит вертикальной гидравлической трещины определяется по формуле [28]:

, (1.21)

где и - фильтрационные сопротивления определяемые по формулам (1.19) и (1.20) при , -проницаемость вдоль напластования, – длина горизонтальной скважины или протяженность трещины в горизонтальном положении.

Оценка погрешности формул (1.19) и (1.20) показала, что она зависит от параметра и числа принятых членов n в бесконечных рядах. Так, при (сильно анизотропные пласты), при n=1 погрешность составляет не более 0,19%; при и погрешность . Поэтому, для практических расчетов в приведенных рядах достаточно удержать не более члена при .

В заключение отметим, решения (1.11) и (1.14) успешно могут быть использованы в теории конусообразования для расчета предельных безводных и безгазовых дебитов и депрессии при дренировании продуктивных пластов горизонтальными и «несовершенными» вертикальными трещинами ГРП.

Если за горизонтальную дрену принять горизонтальную скважину диаметром , произвольно расположенную в пласте (рис.1.1), то дебит скважины (при и ) выразится приближенной формулой [28]:

(1.22)

где

(1.23)

(1.24)

где – проницаемость пласта вдоль напластования, – продуктивная толщина пласта, – длина горизонтальной скважины, – длина пласта, – давление на границе пласта (на контуре питания), – давление на забое скважины, - динамическая вязкость нефти, – расстояние от кровли до положения горизонтальной скважины, - коэффициент анизотропии, – вертикальная проницаемость.

Если скважина расположена симметрично относительно области дренирования, то в формуле (1.22) следует принять .

Формула (1.21) справедлива для расчета дебита горизонтальной скважины с открытым забоем и может быть использована для обработки индикаторных линий. В условиях перфорированной колонны следует использовать формулу приведенного радиуса скважины, в которой добавочные фильтрационные сопротивления С₀ можно определить по формуле [28]:

. (1.25)

где – длина перфорированного канала радиуса , – число каналов на погонный метр.

Пласт однородно-анизотропный полубесконечный. Для полубесконечного пласта можно получить наиболее простое приближенное решение задачи, если воспользоваться методом зеркального бесконечного отображения точечного стока (источника) в кровлю и подошву пласта.

Многократно отражая скважину-сток с интенсивностью в кровлю и подошву, получаем две бесконечные цепочки: скважин-стоков и скважин-источников с координатами , (рис. 1.1). Суперпозиция полей двух таких цепочек дает потенциал, который для однородной пористой среды определяется выражением [6]:

. (1.26)

С целью получения постоянства потенциала на контуре , через которую проходит ось Z, отобразим все скважины полученных двух бесконечных цепочек на ось Z и возьмем величину с обратным знаком. Таким образом, получаются еще две равнодебитные бесконечные цепочки, являющиеся зеркальным отображением первых двух относительно оси Z.

Результат суперпозиции полей последней пары бесконечных цепочек выражается формулой [28]:

.(1.27)

Результирующий потенциал, очевидно, запишется в форме :

.(1.28)

Постоянная интегрирования определяется из граничного условия: при

. Из формулы (1.28) следует, что

. (1.29)

Для однородно-анизотропной среды, где и - проницаемости по горизонтали и вертикали пласта соответственно, требуется решить уравнение фильтрации [28]:

. (1.30)

Введем новую переменную и характеристику анизотропии :

, . (1.31)

Тогда уравнение (1.30) переходит в обычное уравнение Лапласа для изотропной среды с координатами :

. (1.32)

Пласт в новых координатах , где вертикальные размеры действительного анизотропного пласта изменены в раз, назовем приведенным однородным пластом.

Сравним дебит (на единицу ширины потока) скважины в однородно-анизотропном пласте с дебитом скважины приведенного пласта [28]:

. (1.33)

Таким образом, решив задачу для приведенного изотропного пласта, воспользуемся старыми координатами, чтобы получить решение для однородно-анизотропного пласта. Нетрудно видеть, что уравнению (1.32) удовлетворяет решение, аналогичное решению (1.28), которое с учетом (1.29) и (1.30) при записывается в безразмерном виде:

, (1.34)

; ; . (1.35)

Если принять за горизонтальную скважину линию стоков с плотностью расхода на ширину потока по длине горизонтального ствола , тогда дебит скважины , а уравнение (1.34) при переходе от потенциала к давлению при представится в виде:

, (1.36)

где

. (1.37)

Заметим, уравнение (1.34) может быть использовано для расчета предельных безводных (безгазовых) дебитов и депрессий в соответствии с теорией статического конусообразования Маскета-Чарного.