Позиционные системы счисления

Системы счисления, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число, называются позиционными.

Во всех вычислительных машинах применяется позиционная система счисления.

Десятичная система счисления является позиционной. В привычной нам системе счисления одна и та же цифра обозначает разные значения, в зависимости от того на каком месте она стоит. Например, в числе 777 первая семерка обозначает 7 сотен, вторая –7 десятков, а третья 7 единиц. Это число можно представить в следующем виде 777=7*100+7*10+7.

В любой позиционной системе счисления число N_q можно представить как сумму степеней основания q, умноженных на соответствующие коэффициенты 0<=a_i<=q-1, являющиеся цифрами данного числа:

N_q=a_nqⁿ+a_n-1q^n-1+…+a₁q₁+a₀q⁰+a_-1д.^-1+…+a_-mq^—m

n, m – произвольные целые числа

сокращенная запись числа будет иметь вид:

N_q=a_na_n-1,…,a₁a₀a_-1a_-m

Например, число 7309, 204 в десятичной системе счисления можно записать как

7309,204₁₀=7*10³+3*10²+0*10¹+9*10+2*10^-1+0*10^-2+4*10^-3

откуда видно, что соответствующие коэффициенты изображают данное число в виде сокращенной записи.

Принимая за основание системы любые целые положительные числа: два, три, пять, восемь, десять, шестнадцать – можно получить двоичную, троичную, пятеричную, восьмеричную, десятичную, шестнадцатеричную системы счисления.

Десятичная система счисления - лишь одна из немногих возможных систем счисления. Она привычна для нас, однако не является удобной и рациональной для применения в вычислительных и логических устройствах.

Вся информация, обрабатываемая современными ЭВМ, хранится в них в двоичном коде.

Официальное рождение двоичной арифметики связано с Готфридом Вильгельмом Лейбницем. В 1703 г. он опубликовал статью, в которой были рассмотрены правила выполнения всех арифметических операций над двоичными числами.

До начала 30 г. 20 века данная система осталась вне поля зрения прикладной математики.

Потребность в создании надежных и простых по конструкции счетных, механических устройств и простота двоичной арифметики привели к более глубокому ее изучению, как системы, пригодной к аппаратной реализации.

Пионером в проектировании вычислительных машин двоичного действия на электронно-ламповой основе является инженер Атанасов. Одновременно с ним двоичную машину спроектировали на релейной (электромагнитной) основе.

Утверждение двоичной системы счисления в качестве основы при проектировании ЭВМ с программным управление состоялось под влиянием Беркса, Гольдстайна, Дж. Фон Неймана.

Каким образом осуществляется хранение информации в ЭВМ?

Каждый регистр арифметического устройства ЭВМ, каждая ячейка памяти представляет собой физическую систему, состоящую из некоторого числа однородных элементов. Каждый такой элемент способен находится в нескольких состояниях и служит для изображения одного из разрядов числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки называют разрядом. Если при записи чисел в ЭВМ мы хотим использовать десятичную систему счисления, то мы должны получить 10 устойчивых состояний для каждого разряда (как на счетах при помощи косточек). Такие машины существую. Однако конструкция элементов такой машины оказывается чрезвычайно сложной, что сказывается на надежности и скорости ЭВМ.

Наиболее надежным и дешевым является устройство, каждый разряд которого может принимать два состояния: намагничено – не намагничено, высокое напряжение – низкое напряжение. В современной электронике развитие аппаратной базы ЭВМ идет именно в этом направлении. Следовательно, использование двоичной системы в качестве внутренней системы представления информации вызвано конструктивными особенностями ЭВМ.