линии пересечения поверхностей

Сферу в качестве посредника при определении линии пересечения двух поверхностей можно применять в случаях, если поверхности являются поверхностями вращения, оси поверхностей пересекаются или оси поверхностей составляют плоскость, параллельную плоскости проекции.

Существует два способа применения вспомогательных сфер.

1. Способ концентрических сфер. Рассмотрим применение этого способа на примере пересечения наклонного цилиндра и закрытого тора (рис. 8.5).

Так как поверхности удовлетворяют трем перечисленным условиям, для определения линии пересечения этих поверхностей воспользуемся вспомогательными сферами. Из точки пересечения осей поверхностей проводим несколько сфер. Сфера самого маленького радиуса проводится из условия, чтобы она касалась одной из поверхностей и пересекала другую. В данном примере сфера минимального радиуса касается тора и пересекает цилиндр.
Это значит, что вспомогательная сфера пересекает цилиндр и тор по окруж-ностям. Точка пересечения окружностей тора и цилиндра является общей для этих поверхностей. Для получения дополнительных действительных точек проводят сферы радиусом не более чем до наиболее удаленной опорной точки.

2. Способ эксцентрических сфер. Применение этого способа рассмотрим на примере пересечения кругового конуса и открытого тора (рис. 8.6).

Сущность способа заключается в том, что в створе между опорными точками проводится секущая плоскость, которая пересекает тор по окружности. Построим вспомогательную сферу, которая пересекала бы тор по этой окружности. Для этого из центра окружности (С₂) проведем касательную к штрихпунктирной окружности до пересечения с осью конуса (О₂). Из этой точки радиусом R проводим сферу, которая пересекает и тор, и конус по окружностям. Пересечение этих окружностей даст общую точку (1₂ ≡ 1´₂). По принадлежности находим (1₁ ≡ 1´₁). По аналогии находим еще несколько общих точек пересечения.

В заключение конспекта лекций отметим, что для успешной сдачи студентом экзамена по начертательной геометрии необходимо знать теоретический материал, полученный на лекциях и законспектированный в собственной тетради (особенно это касается студентов очного обучения).

На практических занятиях при выполнении контрольных работ и подготовке к экзамену желательно использовать изданный конспект лекций и специальную литературу, приведенную в библиографическом списке.