Прямые частного и общего положения


Метод проекций

Правила построения изображений, излагаемые в курсе начертательной геометрии, основаны на методе проекций. Рассмотрение метода проекций начинают с построения проекции точки, на примере которого рассматривают все базовые понятия и правила проецирования.

 

1.1. Центральное, параллельное и ортогональное проецирование

 

Наиболее общим методом проецирования является центральное проецирование (рис.1.1а). Сущность центрального проецирования заключается в следующем: пусть даны плоскость П и точка S (SÏП). Возьмем произвольную точку А (АÏП, АÏS). Через заданную точку S и точку А проводим прямую и отмечаем точку А0, в которой эта прямая пересекает плоскость П. Плоскость П называют плоскостью проекций , точку S центром проецирования, полученную точку А0 – центральной проекцией точки А на плоскость П, прямую – проецирующей прямой. Аналогично можно получить проекцию любой другой точки.

Частным случаем центрального проецирования является параллельное (рис. 1.1б), когда центр проецирования находится в бесконечности. Тогда проецирующие лучи параллельны друг другу.

Еще более частный случай, при котором проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций (рис. 1.1в), называется ортогональным проецированием.

 
 

В дальнейшем будем рассматривать лишь ортогональное проецирование, т.к. построение всех чертежей основано на этом методе.

Рис. 1.1. Методы проецирования: а) центральное; б) параллельное; в) ортогональное.

 

1.2. Эпюр Монжа или комплексный чертеж

 

Проекция геометрического объекта на одну плоскость не дает полного и однозначного представления о самом геометрическом объекте. Рассмотрим проецирование на три взаимно перпендикулярные плоскости (рис. 1.2), одна из которых расположена горизонтально, а две другие вертикально.

Тогда плоскость П1 называется горизонтальной плоскостью проекций, П2 - фронтальной плоскостью проекций (т.к. она расположена перед нами по фронту), П3 - профильной плоскостью проекций (расположена в профиль по отношению к наблюдателю). Соответственно А1 - горизонтальная проекция точки А, А2 -фронтальная проекция точки А, А3 - профильная проекция точки А. Оси ОХ, ОY, OZ называются осями проекций. Они аналогичны координатным осям декартовой системы координат с той лишь разницей, что ось ОХ имеет положительное направление не вправо, а влево.

Несмотря на наглядность, с чертежом, изображенным на рис 1.2а работать неудобно, т.к. плоскости на нем показаны с искажениями. Удобнее выполнять различные построения на чертеже, где плоскости проекций расположены в одной плоскости, а именно, плоскости чертежа. Для этого надо горизонтальную плоскость проекций развернуть вокруг оси ОХ на 90° и совместить с фронтальной так, чтобы передняя пола горизонтальной плоскости ушла вниз, а задняя вверх. После чего профильную плоскость проекций развернуть до совмещения с фронтальной. Для этого ее нужно развернуть на 90° вокруг оси OZ, причем переднюю полу плоскости развернем вправо, а заднюю влево. Этот метод предложил Г. Монж. В результате полученное изображение называют трехкартинный комплексный чертеж (эпюр Монжа), рис. 1.2б. Так как ось ОY разворачивается вместе с двумя плоскостями П1 и П3, то на комплексном чертеже ее изображают дважды.

Рис. 1.2. Построение эпюра Монжа:

а) пространственная картина расположения проекций точки А; б) трехкартинный комплексный чертеж

 

Из этого следует важное правило взаимосвязи проекций. А именно, исходя из рис. 1.2а очевидно А1Аx = ОАy = АzА3. Следовательно, это правило можно сформулировать так: расстояние от горизонтальной проекции точки до оси ОХ равно расстоянию от профильной проекции точки до оси ОZ. Тогда по двум любым проекциям точки можно построить третью.

 

1.3. Построение проекций точки по ее координатам

 

Если заданы координаты какой-либо точки А (x, y, z), тогда проекции точки строят следующим образом: сначала откладывают абсциссу по оси ОХ; затем проводят вертикальную линию; далее на ней откладывают ординату по оси OY и аппликату по оси OZ. По оси OY получают горизонтальную проекцию А1, по оси OZ - фронтальную А2. Профильную проекцию А3 строят по А1 и А2 (либо по координатам). Например, построим проекции точек А (10, 20, 30).Построения показаны на рис. 1.3.

Необходимо помнить, что положение горизонтальной проекции определяется координатами х и y, фронтальной - координатами х и z, профильной – координатами y и z. Тогда ордината y всегда характеризует положение горизонтальной проекции, а аппликата – фронтальной.

Рис.1.3. Взаимосвязь координат точки и ее проекций: а) вид в аксонометрии; б) комплексный чертеж.

 

Исходя из тех же положений, решается обратная задача – определение координат точки по ее проекциям. Если на комплексном чертеже изображены проекции точки, тогда, измерив соответствующие расстояния, определяем ее координаты (см. рис. 1.3б). Причем для определения всех трех координат достаточно двух проекций, т.к. любая пара проекций определяет три координаты.

 

Прямые частного и общего положения

 

2.1.1. Прямые уровня

 

Прямой уровня называется прямая, параллельная одной из плоскостей проекций. Поскольку плоскостей проекций три, то и прямых уровня тоже три.

Исходя из положения прямых уровня в пространстве, их проекции выглядят как показано на рис. 2.1.

а)Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций П1, называется горизонтальной прямой уровня или горизонталью и обозначается h.

б) Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций П2, называется фронтальной прямой уровня или фронталью и обозначается f.

в) Прямая, параллельная профильной плоскости проекций П3, называется профильной линией уровня и обозначается p.

Рис. 2.1. Линии уровня на комплексном чертеже: а) горизонтальная; б) фронтальная; в) профильная.

Горизонталь характерна тем, что ее фронтальная проекция параллельна оси ОХ. Фронталь характерна тем, что ее горизонтальная проекция параллельна оси ОХ.

Очевидно, что если прямая параллельна какой-либо плоскости, то на эту плоскость она проецируется в натуральную величину (без искажений). Поэтому h1, f2, p3 – это натуральная величина соответствующих прямых h, f, p.

a - угол наклона прямой уровня к П1,

b - угол наклона прямой уровня к П2,

g - угол наклона прямой уровня к П3.

 

2.1.2. Проецирующие прямые

 

Проецирующей прямой называется прямая перпендикулярная одной из плоскостей проекций, а следовательно, параллельная двум другим плоскостям проекций.

Исходя из положения проецирующих прямых в пространстве, их проекции выглядят как показано на рис. 2.2.

а)Прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций П1, называется горизонтально-проецирующей прямой и обозначается i.

б)Прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций П2, называется фронтально-проецирующей прямой и обозначается j.

в)Прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций П3, называется профильно-проецирующей прямой обозначается r.

а) б) в)

 

Рис. 2.2. Проецирующие прямые на комплексном чертеже: а) горизонтально-проецирующая; б) фронтально-проецирующая; в) профильно–проецирующая.

 

У проецирующих прямых две проекции параллельны плоскостям проекций. Поэтому i2, i3, j1, j3, r1, r2 – это натуральные величины соответствующих прямых i, j, r.

 

 

2.1.3. Прямая общего положения

 

Прямой общего положения называется прямая, занимающая общее положение в пространстве, т.е. не параллельная ни к одной из плоскостей проекций, а следовательно, расположенная к каждой из них под углом.

Рис. 2.3. Прямая общего положения на комплексном чертеже.

 

Естественно, что ни одна из проекций прямой общего положения не показывает ее натуральную величину, а также угол наклона к одной из плоскостей проекций (рис. 2.3).

 

2.2. Определение натуральной величины отрезка прямой и углов наклона его к плоскостям проекций методом прямоугольного треугольника

 

Одним из методов определения натуральной величины отрезка прямой является метод прямоугольного треугольника, который можно сформулировать так: натуральной величиной отрезка является гипотенуза прямоугольного треугольника, одним из катетов которого служит горизонтальная (фронтальная) проекция отрезка, другим – разность расстояний от граничных точек фронтальной (горизонтальной) проекции отрезка до оси ОХ. При этом углом наклона отрезка к горизонтальной (фронтальной) плоскости проекции является угол между гипотенузой прямоугольного треугольника и горизонтальной (фронтальной) проекцией отрезка.

В соответствии с этим построения необходимо выполнять в следующей последовательности. Из любой точки (например, D1) отрезка С1D1 проведем перпендикуляр к нему (рис. 2.4.).

На нем, отложив отрезок длиной Dz, получим точку D*. После соединения точек D* и С1 получаем прямоугольный треугольник С1D1D*, в котором С1D* - натуральная величина отрезка СD, a - угол наклона отрезка СD к плоскости П1. Для определения угла наклона к плоскости П2 проведем аналогичные построения на фронтальной проекции.

Рис. 2.4. Определение натуральной величины отрезка прямой способом прямоугольного треугольника.

 

2.3. Взаимное положение прямых в пространстве. Конкурирующие точки

 

Прямые в пространстве могут занимать по отношению друг к другу одно из трех положений: а) быть параллельными; б) пересекаться; в) скрещиваться, т.е. не пересекаться, но и не быть параллельными. Рассмотрим на рис. 2.5 как при этом располагаются их проекции. Поскольку профильные проекции прямых можно построить по двум имеющимся, то на рис. 2.5 ограничимся двухкартинным комплексным чертежом.

В соответствии с одним из свойств ортогонального проецирования, если прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны (рис. 2.5а). Если прямые пересекаются, то их проекции пересекаются, причем точки пересечения проекций лежат на одной линии проекционной связи (А – точка пересечения прямых с и d). Если прямые скрещиваются, то их проекции пересекаются, но точки пересечения проекций не лежат на одной линии проекционной связи (на рис. 2.5в точки С1 и В2) не лежат на одной линии проекционной связи. Тогда, следуя по вертикальной линии связи от точки С1, получим на каждой из прямых n2 и m2 соответственно две проекции: точки С2 и другой точки D2, а следовательно, на пересечении n1 и m1 лежат две точки С1 и D1, слившиеся в одну.

Точки, лежащие на одном проецирующем луче, называются конкурирующими.. Точки, горизонтальные проекции которых совпадают, называются горизонтально–конкурирующими (на рис. 2.5в см. точки C и D), а если совпадают фронтальные проекции, то точки называются фронтально-конкурирующими (на рис. 2.5в - точки В и Е).

При этом конкурирующие точки расположены на разном расстоянии от плоскостей проекций. Фронтально-конкурирующая точка, расположенная ближе к П2, будет закрыта от наблюдателя точкой, расположенной дальше от П2, а следовательно, ближе к наблюдателю. Значит, ее горизонтальная проекция расположена дальше от ОХ. Тогда в нашем примере точка Е – видимая, а точка В – невидимая. Аналогично С – видимая , а D – невидимая. Таким образом, видимой является точка, у которой проекция расположена дальше от оси ОХ. Чтобы различать точки на чертеже, невидимую заключают в круглые скобки.

 

Рис. 2.5. Двухкартинный комплексный чертеж прямых, занимающих по отношению друг к другу следующее положение: а) а êêb; б) с Ç d; в) n ¸ m

 



Дата добавления: 2017-04-05; просмотров: 7681;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.015 сек.