Пример расчета (задача № 10)

Для схем стальных балок I и II, изображенных на рис. 5.25 и 5.26, определить методом начальных параметров углы поворота се­чения и прогиб в точке D. Модуль упругости Е = 2×10⁸ кН/м². По­перечные сечения балок: схема I - круглое диаметром d = 0,24 м, схема II - квадратное со стороной a = 0,2 м.

Решение

Схема I.

1. Определение опорных реакций балки (рис. 5.25)

Sy = 0, R₀ + q×c - P = 0, R₀ = -q×c + P = -10×1,4 + 12 = -2 кН;

SM₀ =0, ,

M₀ = q c (b + 0,5 c) - M - P (b + c + e) = 10×1,4×(1,8 + 0,5×1,4) -

- 20 - 12×(1,8 + 1,4 + 1,2) = -37,8 кН×м.

Рис. 5.25

Для проверки правильности определения опорных реакций сос­тавим уравнения равновесия:

åM_D = 0, M₀ + R₀×4,4 + q×c×(0,5×c + e) + M = -37,8 - 2×4,4 +

+ 10×1,44×(0,5 1,4 + 1,2) + 20 = 46,6 - 46,6 = 0.

Реакции найдены верно.

2. Применение метода начальных параметров. Исполь­зуя уравнение (5.23), для нашего случая запишем:

E I_x y (z) = E I_x y₀ + z + -

- + .

Здесь M₀ и Q₀ - момент и реакция в заделке (т.е. в начале коор­динат). Знак ½_{z > a} означает, что слагаемое, после которого он сто­ит, нужно учитывать при z > a и не надо - при z £ a. Начальные параметры имеют значения: y₀ = 0; j₀ = 0; M₀ = -37,8 кН×м, R₀ =
= -2 кН (знак реакций определяется по знаку перемещения выз­ванного этими усилиями). Тогда выражение для определения про­гибов будет иметь вид:

E I y (z) = - - +
+ .

Соответственно выражение для определения углов поворота бу­дет:

=-37,8×z - z² + - +
+ 20×(z - 3,2) .

С помощью этих выражений определяем y_D и j_D:

кН×м³.

кН×м².

Жесткость сечения при Е = 2×10⁸ кН/м² равна:

кН×м².

Тогда, окончательно:

Прогиб точки D происходит вниз, а сечение поворачивается по часовой стрелке.

Схема II.

Рис. 5.26

1. Определение опорных реакций балки (рис. 5.26).

SM₀ =0, R_B (b + c + e) - q×(c + e)×[b + 0,5×(c + e)] + M + P b = 0,

= кН;

SM_B =0, R₀ (b + c + e) - 0,5×q×(c + e)² - M + P×(c + e) = 0,

кН.

Для проверки правильности определения опорных реакций сос­тавим уравнение равновесия сил по оси y:

Sy =0; R₀ + R_B + P - q (c + e) = 7,86 + 14,14 + 8 - 10×3 = 30 - 30 = 0.

Реакции найдены верно.

2. Применение метода начальных параметров. Исполь­зуя метод начальных параметров, для рассматриваемой балки запи­шем:

Из условий закрепления балки при z = 0 имеем: y₀ = 0; М₀=0.

Подставляя числовые значения, получим:

.

В данном выражении неизвестно j₀. Из условия закрепления балки при z = b + c + e имеем, что y = 0. Вычисляя прогиб на правом конце балки и приравнивая его к нулю, получим уравнение для определения j₀:

.

Отсюда E I j₀ = -20,84 кН×м². Теперь выражение для определе­ния прогибов будет иметь вид:

.

Соответственно, выражение для определения углов поворота будет:

.

С помощью этих выражений определяем y_D и j_D:

кH×м³.

кН×м².

Вычисляем жесткость сечения (Е = 2×10⁸ кН/м²):

кН×м².

Тогда, окончательно,

рад.

Перемещение точки D происходит вниз, а сечение поворачива­ется по часовой стрелке.

Косой изгиб

Под косым изгибом понимается такой случай изгиба, при котором плоскость изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных осей поперечного сечения (рис. 5.27, а). Косой изгиб удобнее всего рассмотреть как одновременный изгиб бруса относи­тельно главных осей x и y поперечного сечения бруса. Для этого общий вектор изгибающего момента М, действующего в попереч­ном сечении бруса, раскладывается на составляющие момента от­носительно этих осей (рис. 5.27, б):

M_x = M×sina; M_y = M×cosa . (5.25)

Введем следующее правило знаков для моментов M_x и M_y -
момент считается положительным, если в первой четверти коорди­натной плоскости (там, где координаты x и y обе положительны) он вызывает сжимающие напряжения.

Рис. 5.27

На основании принципа независимости действия сил нормаль­ное напряжение в произвольной точке, принадлежащей к попереч­ному сечению бруса и имеющей координаты x, y, определяется суммой напряжений, обусловленных моментами M_x и M_y , т.е.

. (5.26)

Подставляя выражения M_x и M_y из (5.25) в (5.26), получим:

.

Из курса аналитической геометрии известно, что последнее вы­ражение представляет собой уравнение плоскости. Следовательно, если в каждой точке сечения отложить по нормали вектор напря­жения s, то концы векторов образуют геометрическое место точек, принадлежащих одной плоскости, как и при поперечном изгибе.

Уравнение нейтральной линии, т.е. геометрического места точек, где нормальное напряжение принимает нулевые значения, найдем, полагая в (5.26) s = 0:

.

Откуда определяется:

. (5.27)

Поскольку свободный член в (5.27) равен нулю нейтральнаялиния всегда проходит через начало координат. Как видно из выражения (5.26), эпюра напряжений в поперечных сечениях бруса линейна, следовательно, максимальные напряжения в сечении воз­никают в точках наиболее удаленных от нейтральной линии. В том случае, когда сечение имеет простую форму (прямоугольник, круг), положение наиболее опасных точек легко определяется визуально. Для сечений, имеющих сложную форму, необходимо применить графический подход.

Далее покажем, что при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости действия изгибающего момента, как это всегда выполнялось при поперечном изгибе. Действительно угловой коэффициент K₁ следа момента (рис. 5.27, б) равен:

K₁ = tg a . (5.28)

Угловой же коэффициент нейтральной линии, как это следует из (5.27), определяется выражением:

tg j = K₂ . (5.29)

Так как в общем случае I_x ¹ I_y, то условие перпендикулярности прямых, известное из аналитической геометрии, не соблюдается, поскольку K₁ ¹ . Брус, образно выражаясь, предпочитает изги­баться не в плоскости изгибающего момента, а в некоторой другой плоскости, где жесткость на изгиб будет минимальной.