Потенциальная энергия деформации

Внешние силы, приложенные к упругому телу и вызывающие изменение геометрии тела, совершают работу А на соответству­ющих перемещениях. Одновременно с этим в упругом теле накап­ливается потенциальная энергия его деформирования U. При дей­ствии динамических внешних нагрузок часть работы внешних сил превращается в кинетическую энергию движения частиц тела К. Приняв энергетическое состояние системы до момента действия данных сил равным нулю, и в условиях отсутствия рассеивания энергии, уравнение баланса энергии можно записать в следующем виде:

А = U + K. (2.8)

При действии статических нагрузок К = 0, следовательно,

А = U. (2.9)

Это означает, что при статическом нагружении работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную энергию деформа­ции. При разгрузке тела производится работа за счет потенциаль­ной энергии деформации, накопленной телом. Таким образом, уп­ругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругого тела широко используется в технике, например, в заводных пружи­нах часовых механизмов, в амортизирующих рессорах и др. В слу­чае простого растяжения (сжатия) для вывода необходимых расчет­ных зависимостей потенциальной энергии деформации рассмотрим решение следующей задачи.

На рис. 2.4, а изображен растягиваемый силой Р стержень, удлинение которого соответствует отрезку Dl, ниже показан график изменения величины удлинения стержня Dl в зависимости от силы Р (рис. 2.4, б). В соответствии с законом Гука этот график носит линейный характер.

Пусть некоторому значению силы Р соответствует удлинение стержня Dl. Дадим некоторое приращение силе DР - соответству­ющее приращение удлинения составит d (Dl ). Тогда элементарная работа на этом приращении удлинения составит:

dA = (P + d P)×d (D l ) = P×d (D l ) + d P × d (D l ) , (2.10)

вторым слагаемым, в силу его малости, можно пренебречь, и тогда

dA = P×d (D l ). (2.11)

Полная работа равна сумме элементарных работ, тогда, при линейной зависимости “нагрузка - перемещение”, работа внешней силы Р на перемещении Dl будет равна площади треугольника ОСВ (рис. 2.4), т.е.

А = 0,5 Р×Dl . (2.12)

В свою очередь, когда напряжения s и деформации e распреде­лены по объему тела V равномерно (как в рассматриваемом случае) потенциальную энергию деформирования стержня можно записать в виде:

. (2.13)

Поскольку, в данном случае имеем, что V = F l, P = s F иs = Е e,то

, (2.14)

т.е. подтверждена справедливость (2.9).

С учетом (2.5) для однородного стержня с постоянным попе­речным сечением и при Р = const из (2.14) получим:

. (2.15)

2.5. Статически определимые и статически
неопределимые системы

Если при рассмотрении заданной системы, находящейся в рав­новесном состоянии от действия заданных внешних нагрузок, все реакции в связях закрепления, а также внутренние усилия в ее эле­ментах, можно определить только по методу сечений, без использо­вания дополнительных условий, то такая система называется ста­тически определимой.

Сопоставление предела прочности хрупких материалов при растяжении с пределом прочности при сжатии показывают, что эти материалы обладают, как правило, более высокими прочностными показателями при сжатии, нежели при растяжении. Величина отношения для чугуна составляет 0.2 ¸0.4, для керамических материалов 0.1¸0.2. Для пластичных материалов установлено, что .

Большое влияние на проявление свойств материалов оказывает скорость нагружения и температурное воздействие. При высокоскоростном нагружении более резко проявляются свойства хрупкости, а при медленном нагружении - свойства пластичности. Например, хрупкое стекло способно при длительном воздействии нагрузки в условиях нормальной температуры (+20^оС) проявляет пластические свойства. Пластичные же материалы, такие, как малоуглеродистая сталь, при воздействии ударных нагрузок проявляет хрупкие свойства. В зависимости от указанных обстоятельств механические свойства материалов проявляются по-разному. Обобщенный анализ свойств материалов с учетом температуры и времени оказывается очень сложным. Функциональная зависимость между четырьмя параметрами s, e, температурой t^o и временем t, т.е. не является адекватной и содержит в сложной форме дифференциальные и интегральные соотношения, входящих в нее величин.

Так как в обобщенной форме, точное аналитическое выражение функции f получить невозможно, то влияние температуры и фактора времени рассматривается в настоящее время применительно только к частным классам задач. Деление на классы производится как по характеру действия внешних сил так и по типу материалов, а также в зависимости от скорости нагружения.

Наиболее, изучаемыми в механике материалов, являются процессы происходящие при действии медленно изменяющихся (статических) нагрузок.

Скорость изменения этих нагрузок во времени настолько мала, что кинетическая энергия деформируемого тела, составляет незначительную долю от работы внешних сил. Поэтому работа внешних сил превращается только в упругую энергию и в необратимую тепловую энергию, связанную с пластическими деформациями тела.

При статических испытаниях материалов в различных температурных режимах определяется зависимость механических характеристик материалов от температуры. Эта зависимость характеризует изменения внутрикристаллических и межкристаллических связей, а в некоторых случаях и структурными изменениями материалов. В общем случае с ростом температуры, прочностные характеристики материалов существенно падают. При этом, чем выше температура, тем труднее определить механические характеристики материалов. Происходит это не только потому, что возрастают сложности в технике эксперимента, но также вследствие того, что сама характеристика становится менее определенной.

При статическом нагружении, начиная с некоторых значений температур, фактор времени становится очень существенным. Для разных материалов это явление происходит при совершенно различных температурных режимах. Влияние фактора времени обнаруживается и при нормальных температурах. Для металлов его влияние, из-за незначительности, можно пренебречь. А для органических материалов даже при низких температурах время нагружения имеет существенное значения.

В заключение отметим наиболее важные свойства материалов которые обнаруживаются при их испытаниях. Эти свойства имеют фундаментальное значение при построении физических уравнений механики твердого деформируемого тела.

Упругость - это способность твердого деформируемого тела восстанавливать свою форму и объем после прекращения действия внешних нагрузок.

Пластичность - это свойство твердого деформируемого тела до разрушения необратимо изменять свою форму и объем от действия внешних сил.

Вязкость - это свойство оказывать сопротивление за счет трения происходящего при перемещении элементарных частиц тела относительно друг друга в процессе деформирования. Отметим, что при этом, как показывают результаты экспериментов, сила сопротивления, возникающая за счет внутреннего трения материалов, прямым образом зависит от величины скорости перемещения элементарных частиц относительно друг друга.

Упругость, пластичность и вязкость являются главными физическими свойствами твердого деформируемого тела.

Ползучесть - это явление характеризующееся изменения во времени величин деформаций и напряжений в теле при действии статических нагрузок.

Выносливость - при действии периодически изменяющихся по времени нагрузок, это явление, которое характеризуется чувствительностью и изменениями прочностных свойств материалов в зависимости от числа циклов нагружения.

В реальной практике встречаются такие конструкции при рас­чете которых одних лишь уравнений равновесия оказывается не­достаточно, в связи с чем требуется формулирование дополнитель­ных уравнений, связанных с условиями деформирования конструк­ции.

Системы, в которых количество наложенных связей больше, нежели число независимых уравнений равновесия, называются статически неопределимыми.

По сравнению со статически определимыми системами, в ста­тически неопределимых системах имеются дополнительные связи, которые называются лишними.

Термин “лишние связи” является условным. Эти связи являют­ся лишними с точки зрения расчетных предпосылок. В действи­тельности эти связи создают дополнительные резервы для конст­рукций, как в плане обеспечения её жесткости, так и прочности.

На рис. 2.5, а изображен кронштейн, состоящий из двух стерж­ней, шарнирно скрепленных между собой. В связи с тем, что на конструкцию действует лишь вертикальное усилие Р, а система яв­ляется плоской (т.е. все элементы конструкции и вектор внешних сил лежат в одной плоскости), получается, что усилия в стержнях легко определяются из условий равновесия узла А, т.е.

åx = 0, åy = 0. (2.16)

Раскрывая эти уравнения, получаем замкнутую систему линей­ных уравнений относительно неизвестных усилий N₁ и N₂ в кото­рой количество уравнений равно количеству неизвестных:

-N₁ - N₂ sin a = 0; -N₂ cos a - Р = 0.

Рис. 2.5

Если конструкцию крон­штейна усложнить, добавив еще один стержень (рис. 2.5, б), то усилия в стержнях N₁, N₂ и N₃ прежним способом определить уже не удастся, т.к. при тех же двух уравнениях равновесия (2.16) имеются уже три неиз­вестных усилия в стержнях. В таких случаях говорят, что сис­тема один раз статически неопределима. Разность между числом неизвестных усилий и количеством независимых (значащих) урав­нений равновесия, связывающих эти усилия, называется сте­пенью статической неопределимости рассматриваемой системы.

В общем случае под n-раз статически неопределимой системой понимается система, в которой число неизвестных внешних опорных реакций и внутренних усилий превышает число не­зависимых и значащих уравнений равновесия на n единиц.

2.6. Напряженное и деформированное состояние
при растяжении и сжатии

Рассмотрим более подробно особенности напряженного состоя­ния, возникающего в однородном растянутом стержне. Определим напряжения, возникающие на некоторой наклонной площадке, со­ставляющей угол a с плоскостью нормального сечения (рис. 2.6, а).

Рис. 2.6

Из условия åz = 0, записанного для отсеченной части стержня (рис. 2.6, б), получим:

р F_a = s F, (2.17)

где F - площадь поперечного сечения стержня, F_a = F/cos a - пло­щадь наклонного сечения. Из (2.17) легко установить:

р = s сos a. (2.18)

Раскладывая напряжение р по нормали и касательной к на­клонной площадке (рис. 2.6, в), с учетом (2.18) получим:

s_a = p cos a = s cos² a; t_a = p sin a = s sin 2 a . (2.19)

Полученные выражения показывают, что для одной и той же точки тела величины напряжений, возникающих в сечениях, про­ходящих через эту точку, зависят от ориентации этой площадки, т.е. от угла a. При a = 0 из (2.19) следует, что s_a = s, t_a = 0. При a = , т.е. на продольных площадках, s_a = t_a = 0. Это означает, что продольные слои растянутого стержня не взаимодействуют друг с другом. Касательные напряжения t_a принимают наибольшие зна­чения при a = , и их величина составляет t_max= . Важно отме­тить, как это следует из (2.19), что . Следовательно, в любой точке тела на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряже­ния равны между собой по абсолютной величине. Это условие является общей закономерностью любого напряженного состояния и носит назва­ние закона парности касательных напряжений.

Теперь перейдем к анализу деформаций в растянутом стержне. Наблюдения показывают, что его удлинение в продольном направ­лении сопровождается пропорциональным уменьшением попереч­ных размеров стержня (рис. 2.7).

Рис. 2.7

Если обозначить:

e_прод = ; e_попер = - , m = - ,

то, как показывают эксперименты, m = const для данного материала и является безразмерным коэффициентом Пуассона. Вели­чина m является важной характеристикой материала и определяется экспериментально. Для реальных материалов m принимает значе­ния 0,1 ¸ 0,45.

При растяжении стержня возникают не только линейные, но и угловые деформации.

Рассмотрим прямой угол АВС (рис. 2.8, а), образованный отрез­ками АВ и АС, в недеформированном состоянии.

Рис. 2.8

При растяжении стержня точки А, В и С займут положение А ¢, B ¢, C ¢ соответственно. Величина

g_a = ÐВАС - ÐА ¢B ¢C ¢

называется угловой деформацией или угловым сдвигом в точке А.

Совместим точки А и А ¢ и рассмотрим взаимное расположение отрезков АВ и А ¢B ¢(рис. 2.8, б). На этом рисунке отметим вспомо­гательные точки K и L и прямую n, перпендикулярную отрезку А ¢B ¢. Из рис. 2.8, б имеем:

e_прод = ; e_попер = ,

откуда с учетом e_прод = получим:

. (2.20)

Для определения w_a спроектируем ломаную ВLB ¢А ¢на ось n DS×sin w_a = BL cos (a + w_a) + LB ¢sin(a + w_a), откуда, учитывая ма­лость угла w_a , т.е. sin w_a » w_a , cos w_a » 1, получим:

w_a = . (2.21)

В результате совместного рассмотрения (2.20) и (2.21) получим:

w_a = .

Откуда

.

Следовательно,

. (2.22)

Сопоставляя выражение g_a с выражением t_a из (2.17) окон­чательно получим закон Гука для сдвига:

(2.23)

где величина называется модулем сдвига или модулем упругости материала второго рода.

2.7. Основные механические характеристики
материалов

Для количественной оценки основных свойств материалов, как

Рис. 2.9

правило, экспериментально определяют диаграмму рас­тяжения в координатах s и e (рис. 2.9), На диаграмме от­мечены характерные точки. Дадим их определение.

Наибольшее напряже­ние, до которого материал следует закону Гука, назы­вается пределом про­порциональности s_П . В пределах закона Гука тангенс угла наклона прямой s = f (e) к оси e определяется величиной Е.

Упругие свойства материала сохраняются до напряжения s_У , называемого пределом упругости. Под пределом упругости s_У понимается такое наибольшее напряжение, до которого матери­ал не получает остаточных деформаций, т.е. после полной разгруз­ки последняя точка диаграммы совпадает с начальной точкой 0.

Величина s_Т называется пределом текучести материала. Под пределом текучести понимается то напряжение, при котором происходит рост деформаций без заметного увеличения нагрузки. Если необходимо различать предел текучести при растяжении и сжатии s_Т соответственно заменяется на s_ТР и s_ТС . При напряже­ниях больших s_Т в теле конструкции развиваются пластические деформации e_П , которые не исчезают при снятии нагрузки.

Отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец, к его начальной площади поперечного сечения носит на­звание предела прочности, или временного сопротивления, и обоз­начается через, s_ВР (при сжатии s_ВС ).

В табл. 2 приводятся значения указанных характеристик (в кН/м²) наиболее распространенных конструкционных матери­алов.

Таблица 2

При выполнении практических расчетов реальную диаграмму (рис. 2.9) упрощают, и с этой целью применяются различные ап­проксимирующие диаграммы. Для решения задач с учетом упру­го-пластических свойств материалов конструкций чаще всего применяется диаграмма Прандтля. По этой диаграмме на­пряжение изменяется от нуля до предела текучести по закону Гука s = Е e, а далее при росте e, s = s_Т (рис. 2.10).

Способность материалов получать остаточные деформации но­сит название пластичности. На рис. 2.9 была представлена ха­рактерная диаграмма для пластических материалов.

Рис. 2.10 Рис. 2.11

Противоположным свойству пластичности является свойство хрупкости, т.е. способность материала разрушаться без образова­ния заметных остаточных деформаций. Материал, обладающий этим свойством, называется хрупким. К хрупким материалам относятся чугун, высокоуглеродистая сталь, стекло, кирпич, бетон, природные камни. Характерная диаграмма деформации хрупких материалов изображена на рис. 2.11.