Расчётно-графическая задача №2

Балки

На статически неопределимую балку из прокатного профиля действует нагрузка. Необходимые данные приведены на рис.5.2 и в таблице 5.2.

Таблица 5.2

Требуется:

1. Выполнить расчет статически неопределимой балки, выразив нагрузки через один параметр , Р или М* и построить эпюры бающих моментов М* и поперечных сил Q.

2. Выполнив анализ эпюры М* определить нагрузку, при которой возникнет текучесть в наиболее нагруженном сечении балки.

3. Задавшись кинематически возможной схемой разрушения балки определить предельную нагрузку.

4. Построить в масштабе схему балки и изобразить на чертеже необходимые эпюры внутренних усилий.

Указание.

При определении нагрузки текучести принимается М_т = σ_nW_x, где W_x приведены в сортаменте прокатного профиля.

При определении предельной нагрузки принимается М_пр = σ_nW_пл, где пластический момент сопротивления

Расчетно-графическая задача №3

Рамы.

Для статически неопределимой рамы, изображённой на рис.5.3, определить нагрузку текучести и предельную нагрузку, считая нагру-жение простым. Напряжение текучести σ_т принять равным 100 мПа.

Требуется:

1. Выполнить расчёт статически неопределимой рамы (см. рис.5.3) в соответствии с исходными данными, заданными в таблице 5.3.

2. Подобрать из условия прочности

где F = b ∙ h, W = b ∙ h²/6, размеры квадратного или прямоугольного поперечного сечения (b ∙ h) вертикальных и горизонтальных стержней рамы.

Указание. Задача вычисления размеров поперечного сечения сводится к решению кубического уравнения. Однако эту задачу мож­но упростить, найдя отдельно площадь от изгиба и от растяжения (сжатия), а затем сложить эти площади. Можно решить эту задачу и путём подбора.

3. Выразив нагрузку q, Р через один параметр, определить их зна­чения q_т, Р_т, при которых начнут возникать пластические деформации в наиболее нагруженном сечении рамы. При этом М_т = σ_тW_x, где W = b ∙ h²/6.

4. Выполнив анализ напряжённого состояния и составив схему разрушения рамы, определить предельные значения нагрузок

q_пр, Р_пр. При этом М_пр = σ_тW_пл, где W_пл = b ∙ h²/6.

5. Сделать чертёж, на котором изобразить в масштабе раму и все

необходимые эпюры внутренних сил.

Таблица 5.3.

		H
		H
		Ir

5.2. ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ)

Пример 1. Рассмотрим деформирование прямолинейного стержня при растяжении – сжатии.

Стержень переменного поперечного сечения (рис.5.4,а) пло­щадью F, длиной L, состоящий из трёх участков, нагружен в сечении С силой Р. Торцы А и В закреплены неподвижно. Условная диаграм­ма растяжения

σ – ε материала схематизирована в виде диаграммы без упрочнения (рис.5.4, в).

Исходные данные следующие (рис. 5.4, а):

а = 0,1 м; b = 0,04м; с = 0,08м; L = а + b + с; Е = 2∙ 10¹¹ Па; F = 1 см²; σ_тс = – 280 ∙10⁶ Па; σ_тр= 210 ∙ 10⁶Па.

Исследовать деформацию стержня в пределах и за пределами упругости.

I. Решение упругой задачи.

Выполним расчёт статически-неопределимого стержня. Разрежем мысленно стержень у торца А, приложив в сечении неизвестную реакцию R_А (рис. 5.4,б). У торца В возникает реакция R_В. Мы видим, что неизвестных сил две, а статических уравнений равновесия можно записать только одно - такая система является статически неопределимой.

Известно, что если продольная сила N на участке длиной L постоянная (рис.5.4,г), то удлинение или укорочение этого участка стержня жёсткостью ЕF можно определить по формуле:

Допустимой силы мы пока не знаем, для удобства пусть она равна параметру Р.

Теперь, если закрепить только левый торец стержня от смещения (рис.5.5,а), то от силы Р стержень укоротится на величину

		Рис. 5.5

Аналогично от правой реакции R_b стержень удлинится (рис.5.5,б) на величину δ:

Так как сечение В неподвижно, то сумма этих перемещений должна равняться нулю δ_p + δ = 0. Отсюда определяем возникающую в сечении В реакцию:

Окончательная эпюра усилий (рис.5.5, д) в упругой статически не­определимой задаче складывается из эпюры N (рис.5.5,г), умноженной на 0,ЗЗЗ Р и эпюры N_Р (рис.5. 5,в).

Итак , усилия будут такими:

N₁= – P + R_B; N₁= – 0,667 P ; - участок 1

N₂ = R_B N₂ = 0,333 P; - участок 2

N₃ = R_B N₃= 0,333 P; - участок 3

Упругие удлинения участков будут равны :

Сумма удлинений всех участков , равная нулю, должна являться проверкой:

2. Решение упруго – пластической задачи.

Выполним расчет по предельному состоянию. Из условия возникновения пластических деформаций

определим усилия, от которых эти деформации возникнут на участках 1,2,3:

Отсюда видим, что пластические деформации в первую очередь возникнут на участке 3 при Р = Р_тз.

При дальнейшем увеличении силы Р, напряжения на участке 3 увеличиваться не будут в соответствии с диаграммой деформирования материала без упрочнения ( рис. 5.4,в), а останутся постоянными и равными напряжению текучести при сжатии (рис. 5.6,а); усилие также будет постоянным: N_тз = σ_тр F =21 кН .

Участки стержня, на которых возникнут пластические деформации в дальнейшем на рисунках будут показаны заштрихованными.

В данной задаче усилие на участке 2 будет всегда равным усилию на третьем участке – это видно из равновесия отсеченной части этих двух участков ( рис. 5.6, б):

N₂ = N_тз.

Напряжение всегда будет оставаться меньше напряжения текучести, поэтому этот участок будет всегда упругим.

Пластичность на первом участке возникнет тогда, когда

N_т1 = σ_тс2F = – 56 кН.

Из уравнения равновесия (рис.5.6,в) определим предельную нагру­зку;

Р_поед = N_тз – N_т1 = 77 кН.

При этом значении силы Р пластичность возникает на участках 1 и 3. Большую силу конструкция не выдержит. Участок 2 останется упругим (рис.5.6,г).

По методу предельного состояния предельная нагрузка уменьша­ется на коэффициент запаса, равный, например n =1,4. Тогда допуска­емая нагрузка равна

По методу допускаемых напряжений предельной нагрузкой явля­ется сила, от которой впервые возникла пластичность; тогда допускаемая нагрузка будет вычисляться по формуле

Сопоставляя значения допускаемых нагрузок, заключаем , что метод расчета по предельному состоянию вскрывает дополнительные прочностные ресурсы , не используемые в методе допускаемых напряжений.

Пример.2 Исследуем процесс деформирования шарнирно-стержневой системы, состоящей из четырех одинаковых стержней, поддерживающих абсолютно жесткую на изгиб балку (рис.5.7,а) нагруженную силой Р методом последовательного нагружения. Стержни деформируются согласно условной диаграмме Прандтля (рис.5.7,б)

Общую картину поведения статически неопределимой

упруго – пластической системы в течение всего процесса нагружения может дать серия расчётов упругих систем, получающихся из задан­ной путем последовательного исключения связей, пришедших в состояние текучести. Первоначально система (рис.5.7,а) дважды статиче­ски неопределима. Предельная нагрузка Р_пред ещё неизвестна, поэтому усилия в стержнях 1 – 4 в начале примем нулевыми:

где S-шаг нагружения.

На первом шаге деформирования S = 1 загрузим систему по направ­лению действия силы Р_пред приращением нагрузки ∆Р₁ (рис.5.8). Стер­жневая система работает как полностью упругая, её статический рас­чёт можно выполнить с помощью метода сил (см. дополнение 1), ко­торый даёт следующие усилия в стержнях (рис.5. 8,а):

∆N₁ = 0,4 ∆P₁; ∆N₂ = 0,3 ∆P₁; ∆N₃ = 0,2 ∆P₁; ∆N₄ = 0,1 ∆P₁.

Наибольшее усилие ∆N₁ = 0,4 ∆P₁ возникает в первом стержне. При­равняв N₁ усилию N_т = σ_т F, где F - площадь поперечного сечения, определить значение ∆P₁, при котором возникнут пластические деформации в первом стержне:

∆N₁= 0,4 ∆P₁ = N_т ∆Р₁=N_т/ 0,4 =2,5 N_т .

Таким образом, если к системе приложить силу Р = ∆Р₁ = 2,5N_т то получим распределение накопленных усилий в стержнях на первом шаге нагружения (рис.5. 8,6):

Анализируя распределение усилий в стержнях отметим, что в первом стержне усилие достигло значения N_т и далее не будет увеличиваться, а остальные стержни работают в упругой стадии согласно диаграмме Прандтля (рис.5. 7,б).

На втором шаге деформирования S = 2 нагрузим стержневую с тему (однажды статически неопределимую) силой ∆Р₂ (рис.5.9а) выполним расчёт методом сил (см. дополнение 2).

Упругий расчёт даёт следующие приращения усилий в стержнях:

Наиболее натруженным оказался стержень 2, поэтому в нем усилие достигнет N_т:

Отсюда

Таким образом, если к стержневой системе приложить силу (рис.5.9,б), получим накопленные усилия в стержнях на втором шаге нагружения:

На третьем шаге S=3 нагружения рассмотрим расчет статически определимой системы, к которой приложены приращение ∆Р (рис.5.10, а).

Приращения усилий определяется из уравнений равновесия и равны:

∆N₃ =2∆Р₃; ∆N₄ = – ∆Р_3.

Приравнивая суммарное усилие в стержне 3 усилию текучести N_т

или

0,6N_T +2∆P₃ =N_т,

получим

∆Р₃=0,4 N_т/2 = 0,2 N_т

Таким образом, если к стержневой системе приложить силу

Р = ∆Р₁+∆Р₂+∆Р₃ = 3N_т, то получим распределение накопленных усилий в стержнях на третьем шаге нагружения (рис.5.10,б):

Таким образом Р_пред - полная предельная нагрузка стержневой системы, то есть несущая способность последней равна Р_пред= ЗN_т. Если

σ_т = 250 мПа, а F = 1 см², то Р_пред= Зσ_т F = 75 кН.

Определим абсолютную деформацию ∆h₂ стержня 2, под которым приложена сила Р в конце каждого шага нагружения (см. дополне­ние 3):

График зависимости абсолютной деформации от величины достиг­нутой силы Р показан на рис. 5.11.

Зависимость изображается ломаной линией, которая при достижении предельного равновесия Р = ЗN_т становится горизонтальной.

Проведенный расчёт даже

для такой простой системы

оказывается громоздким, но

зато он даёт возможность

описать всё поведение конструкции

в процессе её нагружения.

Дополнение 1. Расчёт стержневой системы методом сил. Для симметричной системы выберем

основную систему метода сил

Рис.5.11

с использованием групповых неизвестных (рис.5.12,а). Единичные и грузовые эпюры показаны на рис.5.12(в – д). Окончательная эпюра приведена на рис. 5.12,е.

δ_ijX_j+∆_iр= 0; i, j = 1, 2.; ;

Дополнение 2. Расчет однажды статически неопределимой системы (рис.5.13,а). Основная система и эпюра N изображены на рис. 5.13, б, грузовая – на рис. 5.13, в.

δ₁₁Х₁ + ∆_1р=0;

.

Отсюда

Окончательная эпюра

N_ок =

Показана на рис. 5.13,г.

Дополнение 3 Требуется определить перемещение в точке приложения силы Р. Чтобы определить перемещение, нужно в любой основной системе метода сил по направлению искомого перемещения приложить единичный груз Х₁= 1 и построить эпюру (рис. 5.14, а). Интегралы дают значения перемещений по искомому направлению.

	h

Пример 3. Определим состояние предельного равновесия шарнирно-

стержневой системы кинематическим методом.

Рассмотрим шарнирно – стержневую систему (рис.5.15,а) и будем читать, что стержни одинаково сопротивляются растяжению и сжатию, а балка абсолютно жёсткая на изгиб. Кроме того, упругие деформации стержней настолько малы, что ими можно пренебречь по сравнению деформациями текучести.

Зададимся тремя кинематически воз­можными формами разрушения системы, а именно поворотами балки на малый угол вокруг точек А, С, Д и из условий равновесия определим величину нагрузки Р.

Из рис.5.15,6 записываем

Σm_A=0; l – N_т · (l+2l+3l) = 0 ; →P = 6 N_т.

Из рис.5. 15,в записываем

Σm_с = 0; N_т · 2l + N_т l+ N_т l –Рl) = 0 ; →= 0; → P =3N_т .

Видим, что минимальное усилие Р усилие Р=Р_пред равное 3N_т получается получается при повороте балки вокруг точки Д, то есть, когда в состоянии тякучести находятся первые три стержня.