Основные теоремы о сходящихся числовых рядах.
Числовые и функциональные ряды.
1. Основные понятия и определения.
Пусть - бесконечная числовая последовательность.
Выражение называется бесконечным числовымрядом, а числа - членами ряда; называется общим членом. Ряд часто записывают в виде .
Сумму первых и членов числового ряда обозначают через и называют п-й частичной суммой ряда:
Ряд называется сходящимся, если его п-я частичная сумма при неограниченном возрастании и стремится к конечному пределу, т.е. если . Число S называют суммой ряда. Если же п-я частичная сумма ряда при не стремится к конечному пределу, то ряд называют расходящимся.
Ряд , составленный из членов убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся и имеет сумму .
Ряд называется гармоническим, расходится.
Основные теоремы о сходящихся числовых рядах.
Теорема.
Если сходится ряд
,
то сходится и ряд
получаемый из данного ряда отбрасыванием первых членов (этот последний ряд называют - м остатком исходного ряда); наоборот, из сходимости - го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда.
Теорем.
Если сходится ряд
и суммой его является число S, то сходится и ряд
причем сумма последнего ряда равна аS.
Теорема.
Если сходится ряды
, ,
имеющие соответственно суммы S и , то сходится и ряд
причем сумма последнего ряда равна S + .
Теорема.
Если ряд
сходится, то , т.е. при придел общего члена сходящегося ряда равен нулю (необходимый признак сходимости ряда).
Таким образом, если , то ряд расходится.
Дата добавления: 2017-03-12; просмотров: 2213;