Признаки сходимости рядов с положительными членами.

Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда

(1)

(2)

причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т.е. Тогда если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1). Если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

Этот признак остается в силе, если неравенства выполняются не при всех п, а лишь начиная с некоторого номера п = N.

Второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда , одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Радикальный признак Коши. Если для ряда

существует = q, то этот ряд сходится при q <1 и расходится при q >1.

Признак Даламбера. Если для ряда

существует , то этот ряд сходится при k <1 и расходится при k >1.

Интегральный признак Коши. Если f(x) при - непрерывная, положительная и монотонная убывающая функция, то ряд , где сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение: Данный ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии и поэтому сходится. Найдем его сумму (знаменатель геометрической прогрессии). Следовательно

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Решение: Член данного ряда меньше соответствующих членов ряда , т.е. ряда

Но последний ряд сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Следовательно, сходится и данный ряд.

Пример . Исследовать сходимость ряда

Решение: Сравним ряд с гармоническим рядом, у которого

Следовательно, данный ряд расходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение: Здесь удобно применить признак Коши, поскольку а предел

т.к. то ряд сходится.

Пример.Исследовать сходимость ряда

.

Решение: Применим признак Даламбера: имеем