Применение степенных рядов.

Разложение в степенной ряд методом интегрирования.

Дифференцируя или интегрируя известные разложения функций в ряд Тейлора, можно получать разложения новых функций в степенные ряды. Так, например, интегрируя

в пределах от 0 до x, |x|<1 (это законно, так как ряд равномерно сходится на отрезке с концами в точках 0 и x при |x|<1), получим формулу ln(1+x)=

Ряд в правой части сходится при x=1 и, значит, сумма его непрерывна в этой точке.

Пример. Разложить по степеням x функцию arctg x.

Известно, что arctg x= . Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд: (из биномиального разложения, полагя t2=x).

Этот ряд сходится для всех значений t, удовлетворяющих неравенствам –1<t<1.

Итак: arctg x =

 

Вычисление значений функций с помощью рядов.

Пусть нужно вычислить значение функции f(x) при x=x0 с заданной точностью e.

Пусть f(x) разлагается в ряд: f(x)=a0+a1(x-a)+…+an(x-a)n+… в интервале (a-R, a+R) и точка x0 принадлежит интервалу.

Тогда, f(x0)=a0+a1(x0-a)+a2(x0-a)2+…

Взяв достаточное число первых членов, получим приближенное равенство, точность которого увеличивается с увеличением n. Абсолютная погрешность |f(x0)-Sn(x0)|=|Rn(x0)|, где Rn(x0)=an+1(x0-a)n+1+an+2(x0-a)n+2+…

Необходимо, чтобы |Rn(x0)|<e

Пример. Вычислить с точностью до 0,001 число e.

Решение. ex=

e1=1+1+

e»1+1+

Rn(x)= , где 0<c<x, при x=1

Rn(1)= и так как eс<e1<3, получим Rn(1)< и подбором получим, что достаточно n=6 e»1+1+ .

Приближенное вычисление интегралов.

Пример. с точностью до 0,001.

Так как sinx=x- , то деля почленно на x, получим

Интегрируя

Ряд можно рассматривать как разность сходящихся знакопеременных рядов:

1-

Погрешность не превосходит первого из отброшенных членов, и, подбором, видим, что достаточно трех скобок в разложении

Пример.

 

7.Тригонометрические ряды. Ряды Фурье

 

Тригонометрическим рядом называется ряд вида

(6)

где - действительные числа.

Рядом Фурье периодической функции с периодом , определенной на интервале , называется ряд (6), коэффициенты которого определяются по формулам – Фурье:

Если ряд (6) сходится, то его сумма S(x) есть периодическая функция с периодом , т.е. .

Теорема Дирихле. Пусть функция f(x) на интервале имеет конечное число экстремумов и является непрерывной за исключением конечного числа точек разрыва I рода (т.е. удовлетворяет так называемым условиям Дирихле). Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке интервала и сумма S(x) этого ряда:

1) во всех точках непрерывности функции f(x), лежащих внутри интервала ;

2) на концах интервала, т.е. при ;

3) , где - точка разрыва I рода функции f(x).

Если функция f(x) задана на интервале , где произвольное число, то при выполнении на этом сегменте условий Дирихле указанная функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье

где

В случае, когда - четная функция, её ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, т.е.

где

В случае, когда - нечетная функция, её ряд Фурье содержит только синусы, т.е.

где

Если функция задана на интервале , то для разложения в ряд Фурье достаточно доопределить её на интервале . Наиболее целесообразно функцию доопределить так, чтобы ее значения в точках интервала находились из условия или . В первом случае функция на интервале будет четной, а во втором – нечетной. При этом коэффициенте разложения такой функции ( в первом случае и - во втором) можно определить по приведенным формулам для коэффициентов четных и нечетных функций.

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , определенную так

Решение: Из определения функции следует, что она удовлетворяет условиям Дирихле. Поэтому заданная функция разлагается в свой ряд Фурье.

поэтому

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , определенную равенством.

Решение: Эта непрерывная функция, очевидно, удовлетворяет условиям Дирихле и, следовательно, разлагается в свой ряд Фурье, она четная, поэтому

Следовательно,

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию определенную равенством

Решение: Эта функция разрывная, удовлетворяет условиям Дирихле, и, следовательно, разлагается в свой ряд Фурье. Функция нечетная, поэтому

Следовательно

Пример. Функцию разложить в ряд косинусов на интервале .

Решение: Продолжая заданную функцию четным образом, как показано на рис. 17 пунктиром, будем иметь

поэтому

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 4, график функции на интервале – периоде (-2,2) изображен на рис.

Решение. Заданная функция нечетная с периодом 2 =4, поэтому

В результате получим






Дата добавления: 2017-03-12; просмотров: 880; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2020 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.04 сек.