Применение степенных рядов.
Разложение в степенной ряд методом интегрирования.
Дифференцируя или интегрируя известные разложения функций в ряд Тейлора, можно получать разложения новых функций в степенные ряды. Так, например, интегрируя
в пределах от 0 до x, |x|<1 (это законно, так как ряд равномерно сходится на отрезке с концами в точках 0 и x при |x|<1), получим формулу ln(1+x)=
Ряд в правой части сходится при x=1 и, значит, сумма его непрерывна в этой точке.
Пример. Разложить по степеням x функцию arctg x.
Известно, что arctg x= . Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд: (из биномиального разложения, полагя t2=x).
Этот ряд сходится для всех значений t, удовлетворяющих неравенствам –1<t<1.
Итак: arctg x =
Вычисление значений функций с помощью рядов.
Пусть нужно вычислить значение функции f(x) при x=x0 с заданной точностью e.
Пусть f(x) разлагается в ряд: f(x)=a0+a1(x-a)+…+an(x-a)n+… в интервале (a-R, a+R) и точка x0 принадлежит интервалу.
Тогда, f(x0)=a0+a1(x0-a)+a2(x0-a)2+…
Взяв достаточное число первых членов, получим приближенное равенство, точность которого увеличивается с увеличением n. Абсолютная погрешность |f(x0)-Sn(x0)|=|Rn(x0)|, где Rn(x0)=an+1(x0-a)n+1+an+2(x0-a)n+2+…
Необходимо, чтобы |Rn(x0)|<e
Пример. Вычислить с точностью до 0,001 число e.
Решение. ex=
e1=1+1+
e»1+1+
Rn(x)= , где 0<c<x, при x=1
Rn(1)= и так как eс<e1<3, получим Rn(1)< и подбором получим, что достаточно n=6 e»1+1+ .
Приближенное вычисление интегралов.
Пример. с точностью до 0,001.
Так как sinx=x- , то деля почленно на x, получим
Интегрируя
Ряд можно рассматривать как разность сходящихся знакопеременных рядов:
1-
Погрешность не превосходит первого из отброшенных членов, и, подбором, видим, что достаточно трех скобок в разложении
Пример.
7.Тригонометрические ряды. Ряды Фурье
Тригонометрическим рядом называется ряд вида
(6)
где - действительные числа.
Рядом Фурье периодической функции с периодом , определенной на интервале , называется ряд (6), коэффициенты которого определяются по формулам – Фурье:
Если ряд (6) сходится, то его сумма S(x) есть периодическая функция с периодом , т.е. .
Теорема Дирихле. Пусть функция f(x) на интервале имеет конечное число экстремумов и является непрерывной за исключением конечного числа точек разрыва I рода (т.е. удовлетворяет так называемым условиям Дирихле). Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке интервала и сумма S(x) этого ряда:
1) во всех точках непрерывности функции f(x), лежащих внутри интервала ;
2) на концах интервала, т.е. при ;
3) , где - точка разрыва I рода функции f(x).
Если функция f(x) задана на интервале , где произвольное число, то при выполнении на этом сегменте условий Дирихле указанная функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье
где
В случае, когда - четная функция, её ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, т.е.
где
В случае, когда - нечетная функция, её ряд Фурье содержит только синусы, т.е.
где
Если функция задана на интервале , то для разложения в ряд Фурье достаточно доопределить её на интервале . Наиболее целесообразно функцию доопределить так, чтобы ее значения в точках интервала находились из условия или . В первом случае функция на интервале будет четной, а во втором – нечетной. При этом коэффициенте разложения такой функции ( в первом случае и - во втором) можно определить по приведенным формулам для коэффициентов четных и нечетных функций.
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , определенную так
Решение: Из определения функции следует, что она удовлетворяет условиям Дирихле. Поэтому заданная функция разлагается в свой ряд Фурье.
поэтому
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , определенную равенством.
Решение: Эта непрерывная функция, очевидно, удовлетворяет условиям Дирихле и, следовательно, разлагается в свой ряд Фурье, она четная, поэтому
Следовательно,
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию определенную равенством
Решение: Эта функция разрывная, удовлетворяет условиям Дирихле, и, следовательно, разлагается в свой ряд Фурье. Функция нечетная, поэтому
Следовательно
Пример. Функцию разложить в ряд косинусов на интервале .
Решение: Продолжая заданную функцию четным образом, как показано на рис. 17 пунктиром, будем иметь
поэтому
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 4, график функции на интервале – периоде (-2,2) изображен на рис.
Решение. Заданная функция нечетная с периодом 2 =4, поэтому
В результате получим
Дата добавления: 2017-03-12; просмотров: 1493;