Схемы технологических процессов

Методы осуществления химических процессов делятся на 2 группы:

· периодические;

· непрерывные.

Периодические процессы характеризуются периодической подачей сырья в реактор и вы­грузкой продуктов реакции.

Непрерывные процессы характеризуются непрерывной подачей сырья в аппарат и выгруз­кой продуктов из него.

Основное отличие в осуществлении этих процессов заключается в характере разграниче­ний отдельных стадий процесса, т.к. многие процессы проходят в несколько стадий, кото­рые отличаются друг от друга введением нового реагента, изменением условий процесса и т.д.

В периодических процессах все эти стадии проходят в одном аппарате и разграничи­ваются во времени. Если представить себе процесс, состоящий из смешения реагентов, нагрева их, самой реакции, охлаждения продуктов – то эти стадии осуществляются в од­ном аппарате, и поэтому в нём соединены функции сразу нескольких аппаратов. В основ­ном аппараты периодических процессов это котлы, автоклавы и т.д.

В непрерывном процессе все подобные стадии разделены и производятся в своих ап­паратах (смеситель, реактор, холодильник и т.д.).

Непрерывные процессы имеют ряд преимуществ перед периодическими:

1. Возможность достигнуть значительно большей производительности оборудования.

2. Возможность выработки более однородной по качеству продукции.

3. Возможность лёгкой автоматизации процесса.

Недостатки непрерывных процессов:

1. Большие затраты на оборудование.

2. Выход продукта всегда меньше, чем по стехиометрии, т.к. всегда работают на макси­мальной скорости.

Но это окупается тем, что количество продукции в единицу времени велико. Поэтому не­прерывные процессы выгодны лишь при многотоннажном производстве.

Технологические процессы по характеру взаимного перемещения реагирующих фаз де­лятся на 3 типа:

1. Прямоточные.

2. Противоточные.

3. Перекрёстные.

Изменение концентрации реагирующих веществ при таких процессах можно проиллюст­рировать следующим образом:

Как видно из графиков: при прямотоке движущая сила процесса сначала велика, а в конце процесса стремится к 0. Процесс проходит неравномерно по длине аппарата.

При противотоке процесс более уравновешен по длине аппарата, причём при этом дости­гается наибольшая полнота процесса (С >С ), т.е. в жидкость переходит большее количе­ство газа.

Движущую силу процесса можно определить при этом двумя путями:

a) Как среднее арифметическое:

b) Как среднее логарифмическое

Для прямотока:

Для противотока:

Катализ

Катализом называется изменение скорости химических реакций в результате воздей­ствия веществ-катализаторов, которые, участвуя в процессе, остаются по окончании его химически неизменными.

Катализаторы не связаны стехиометрическими соотношениями с реагирующими ве­ществами. Катализатор – наиболее эффективное и рациональное средство ускорения хи­мических реакций. Катализаторами могут быть различные вещества: газы, жидкости и твёрдые тела. По фазовому состоянию катализаторов и реагентов процессы разделяют на две основные группы: гомогенные и гетерогенные. В особую группу выделяют микроге­терогенный и ферментативный катализ (катализаторы – коллоидные частицы неорганиче­ской и органической природы).

Если в присутствии катализаторов реакции ускоряются, то это положительный ката­лиз, и это понятие часто отождествляется с общим понятием – «катализ». Однако, сущест­вуют и применяются вещества, замедляющие химические реакции. Это явление называют отрицательным катализом, а вещества – ингибиторами.

В общем случае ускоряющее действие катализатора принципиально отличается от действия других факторов, интенсифицирующих химические реакции: температура, дав­ление, радиация и т.п. При внесении катализаторов энергетический уровень реагирующих молекул не изменяется, как происходит, например, при воздействии температуры. Роль катализа состоит в понижении энергии активации химической реакции в результате изме­нения реакционного пути. В этом случае реакция протекает через ряд элементарных ста­дий, которые требуют в совокупности меньшей энергии активации, чем прямая реакции без катализатора:

Поскольку константа скорости реакции напрямую связана с энергией активации

,

даже незначительное снижение E_а приводит к резкому ускорению скорости процесса.

Ускоряющее действие катализатора измеряется его активностью А, которая опреде­ляется соотношением констант скорости реакций с катализатором и без него:

.

Так, например, если ΔE = 50 кДж/моль, то при 600 К

Снижение энергии активации не является единственной причиной резкого повыше­ния скорости процесса, катализатор может влиять и на K₀.

Таким образом, при открывании нового реакционного пути катализатор является ак­тивным участником процесса, что выражается в образовании с реагирующими вещест­вами неустойчивых промежуточных соединений – активированных комплексов, после распада которых катализатор регенерируется.

От активности катализаторов зависит их температура зажигания, то есть та мини­мальная температура реагирующих веществ, при которой катализатор работает.

Каталитические процессы делят на основных класса:

I – окислительно-восстановительного взаимодействия

II – кислотно-основного взаимодействия

Каждый класс делится на группы по типу реакции. Типичные катализаторы для I класса – металлы (проводники) или оксиды и сульфиды металлов (полупроводники). Для II класса типичные катализаторы – растворённые кислоты и основания, ионные кристаллы, ионные аморфные гели и т.д. (все они – изоляторы) Такая классификация катализаторов связана с различными механизмами окислительно-восстановительного и кислотно-основного ката­лиза. Общий механизм окислительно-восстановительного катализа заключается в обмене электронами между катализатором и реагентами, который облегчает электронные пере­ходы в реагирующих молекулах. Механизм обычного ионного, кислотно-основного ката­лиза заключается в обмене ионами или протонами между катализатором и реагирующими молекулами.

Катализатор может ускорять только одну реакцию или группу реакции различных групп, то есть катализатор обладает различной специфичностью.

Для реакций I класса универсальным катализатором являются Pt и Ni, для II – H⁺.

Избирательный (селективный) катализ – это катализ, при котором ускоряется только одна целевая реакция из нескольких возможных. Особенно он важен в органическом син­тезе. Из одних и тех же веществ с использованием селективных катализаторов можно по­лучить различные продукты:

C₃H₇OH CH₃COCH₃ + H₂

C₃H₇OH C₃H₆ + H₂O

Автокатализ – химические процесс, в которых катализаторами служат промежуточ­ные или полученные продукты. К ним относятся некоторые реакции разложения, горения, полимеризации, восстановления Ni и Cr из оксидов водородом, взаимодействие перманга­ната калия с щавелевой кислотой (kat – образующийся Mn²⁺). Для этих процессов харак­терен индукционный период.

Каталитические свойства катализатора зависят не только от химической природы, но и от способа их приготовления. Большое влияние на активность катализатора оказывает характер поверхности катализатора. Особо важную роль играют активные центры, то есть участки поверхности, имеющие повышенную активность. Это, как правило, геометриче­ские неоднородности поверхности: пики, углы, рёбра кристаллов или микроструктурные дефекты поверхности.

Промышленные катализаторы (их иногда называют контактами) – это, обычно, смеси нескольких веществ (контактная масса), из которых выделяют собственно катализа­тор, а также активаторы и носители.

Активаторы, или промоторы – вещества, повышающие активность основного ката­лизатора. Обычно это оксиды щелочных и щелочноземельных металлов. Механизм дейст­вия активаторов сложен и до конца ещё не выяснен.

Носители, или трегеры – термостойкие инертные пористые вещества, на которые осаждением или другим способом наносят катализатор. Этот приём увеличивает поверх­ность катализатора, её прочность, предохраняет от спекания. В качестве носителей обычно используют пемзу, асбест, силикагель, алюмогель, керамику и т.д.

Основные методы изготовления катализаторов:

1. Осаждение гидроксидов или карбонатов из растительных солей на носитель, либо со­вместно с носителем с последующим формованием и прокаливанием.

2. Совместное прессование порошков катализатора, активатора, носителя с вяжущим ве­ществом и отжиг.

3. Сплавление нескольких веществ с последующим выщелачивание одного из них (Ni Ре­нея) или восстановлением оксидов водородом.

4. Пропитка пористого носителя катализатором и активатором с последующей сушкой и прокалкой.

Сырьё

Химическая промышленность характеризуется высокой материалоёмкостью произ­водства. На одну тонну готовой химической продукции расходуется, как правило, не­сколько тонн сырья и материалов. Отсюда следует, что себестоимость химической про­дукции в значительной мере определяется качеством сырья, способами и стоимостью его получения и подготовки. В химической промышленности затраты на сырьё в себестоимо­сти продукции составляют 60-70% и более.

От вида и качества сырья существенно зависит полнота использования производст­венных мощностей отраслей химической промышленности, производительность тепла, продолжительность работы оборудования, затраты труда и т.д. Свойства сырья, содержа­ние в нём полезных и вредных компонентов определяют применяемую технологию его обработки.

Виды сырья весьма разнообразны, и их можно разделить на следующие группы:

1. минеральное сырьё;

2. растительное и животное сырьё;

3. воздух, вода.

1. Минеральное сырьё – полезные ископаемые, добываемые из земных недр.

Полезные ископаемые в свою очередь подразделяются на:

§ рудные (получение металлов) важные полиметаллические руды

§ нерудные (удобрения, соли, H⁺, OH^-стекло и т.д.)

§ горючие (угли, нефть, газ, сланцы)

Рудное сырьё – это горные породы, из которых экологически выгодно получать ме­таллы. Металлы в нём находятся большей частью в виде оксидов и сульфидов. Руды цвет­ных металлов довольно часто содержат в своём составе соединения нескольких металлов – это сульфиды Pb, Cu, Zn, Ag, Ni и др. Такие руды называют полиметаллическими или комплексными. Непременной составной частью всех промышленных руд является FeS₂ – пирит. При переработке некоторых руд получают наряду с металлами и другие продукты. Так, например, одновременно с Cu, Zn, Ni при переработке сульфидных руд получают и H₂SO₄.

Нерудное сырьё – это горные породы, используемые в производстве неметаллических ма­териалов (кроме хлоридов щелочных металлов и Mg). Этот вид сырья или непосредст­венно используется в народном хозяйстве (без химической переработки) или служит для того или иного химического производства. Это сырьё используют в производстве удобре­ний, солей, кислот, щелочей, цемента, стекла, керамики и т.д.

Нерудное сырьё условно делят на следующие группы:

§ строительные материалы – сырьё используется непосредственно или после механиче­ской или физико-химической отработки (гравий, песок, глина и т.д.)

§ индустриальное сырьё – используется в производстве без обработки (графит, слюда, корунд)

§ химическое минеральное сырьё – используют непосредственно после химической об­работки (сера, селитра, фосфорит, апатит, сильвинит, каменная и другие соли)

§ драгоценное, полудрагоценное и поделочное сырьё (алмаз, изумруд, рубин, мала­хит, яшма, мрамор и т.д.)

Горючее минеральное сырьё – ископаемые, которые могут служить в качестве топ­лива (угли, нефть, газ, горючие сланцы и др.)

2. Растительное и животное сырьё – это продукты сельского (земледелия, животноводства, овощеводства), а также мясного и рыбного хозяйства.

По своему назначению оно подразделяется на пищевое и техническое. К пищевому сырью относятся картофель, сахарная свекла, хлебные злаки и т.д. Химическая и другие отрасли промышленности потребляют растительное и животное сырьё, непригодное для пищи (хлопок, солома, лён, китовый жир, когти и т.д.). Деление сырья на пищевое и техниче­ское в некоторых случаях условно (картофель → спирт).

3. Воздух и вода являются самым дешёвым и доступным сырьём. Воздух – практически неисчерпаемый источник N₂ и O_2. H₂O не только непосредственный источник H₂ и O₂, но и участвует практически во всех химических процессах, а также используется как раство­ритель.

Экономический потенциал любой страны в современных условиях в большей сте­пени определяется природными ресурсами полезных ископаемых, масштабами и качест­венной характеристикой их местоположений, а также уровнем развития сырьевых отрас­лей промышленности.

Сырьевые ресурсы современной промышленности очень разнообразны, причем с развитием новой техники, внедрением более эффективных методов производства сырье­вая база постоянно расширяется за счёт открытия новых месторождений, освоения новых видов сырья и более полного использования всех его компонентов.

Отечественная промышленность имеет мощную сырьевую базу и располагает запа­сами всех необходимых ей видов минерального и органического сырья. В настоящее время США занимает первое место в мире по добыче запасов P, каменных солей, NaCl, Na₂SO₄, асбеста, торфа, древесины и т.д. У нас одна из первых мест по разведанным зале­жам нефти и газа. И разведанные запасы сырья из года в год увеличиваются.

На современном этапе развития промышленности большое значение приобретает ра­циональное использование сырья, которое предполагает следующие мероприятия. Рацио­нальное использование сырья позволяет повысить экологическую эффективность произ­водства, т.к. стоимость сырья составляет основную долю в себестоимости химической продукции. В связи с этим стремятся использовать более дешёвое, особенно местное сы­рьё. Например, в настоящее время в качестве углеводородного сырья всё шире исполь­зуют нефть и газ, а не каменный уголь, этиловый спирт, полученный из пищевого сырья заменяют на гидролизный из древесины.

Обогащение сырья

Всякое ископаемое сырьё после его добычи из земной коры, кроме полезной мине­ральной части, всегда содержит некоторое количество малоценных или бесценных, а ино­гда и вредных для данного производства примесей – пустой породы. Поэтому процесс по­лучения минерального сырья не ограничивается только выемкой его из месторождений. До поступления в производство сырьё подвергают такой обработке, чтобы его состав и свойства удовлетворяли требованиям данного технологического процесса. Такое измене­ние состава минерального сырья, заключающееся в увеличении концентрации в нём по­лезной части называют обогащением.

Обогащение полезных ископаемых, как правило, сложный и дорогостоящий процесс. Од­нако, не смотря на дополнительные затраты, связанные с обогащением, оно обеспечивает значительный эффект, определяемый:

1) возможностью расширения сырьевой базы за счёт комплексного использования сы­рья и вовлечения в эксплуатацию бедных по содержанию основного компонента минералов и руд.

2) более полное использование оборудования на химических предприятиях за счёт пере­работки высококонцентрированного сырья.

3) существенным улучшением качества готовой химической продукции.

4) значительной экономией транспортных средств, вследствие уменьшения перево­зок, приходящихся на долю пустой породы.

Обогащению могут подвергаться твёрдые материалы (например, горные породы) жидко­сти и растворы, а также газовые смеси.

В случае обогащения твёрдых материалов полученный продукт называют концен­тратом, а отходы – хвостами. В тех случаях, когда в сырье содержится несколько полез­ных составляющих, его делят на отдельные части (фракции), обогащенные тем или иным компонентом, т.е. из сложного сырья получают несколько концентратов, что позволяет более полно (комплексно) использовать сырьё.

Методы обогащения твёрдых материалов весьма разнообразны, они основаны на различии физических и химических свойств веществ, входящих в состав сырья, например, прочности, плотности, твёрдости, растворимости, магнитной проницаемости и т.д.

1. Главная задача – комплексное использование сырья.

Извлекая из сырья основной продукт, сырьё обогащается по другим компонентам, кото­рые подчас являются более дорогими, чем основной продукт.

Например: производство цинка

ZnS →SO₂ →H₂SO₄

↓ t°

ZnO (CuO, PbO, CdO, Au, Ag, РЗЭ, Pt)

↓ ↓ ↓

Zn Cu-Pb+Pt Cu-Cd+Pt

↓ ↓ ↓ ↓

Cu+Pt Pb+Pt Cd Cu+Pt → Cu

↓

Au, Ag, Pt

2. Уменьшение отходов производства

Отходы производства используются либо на самом производстве, либо используют на другие производства. Например, цементная промышленность использует шлаки (ме­таллы), сельскохозяйственная промышленность использует шлаки с фосфором. Ti, V и др. извлекают из металлургических шлаков. Из отходов производства сейчас выпускают ТНП.

3. Использование «вторичного сырья»

Особенно это относится к металлургической и целлюлозно-бумажной промышленности. Используется металлолом, макулатура и т.д.

4. Использование местного сырья

Это особенно приобретает значение при длинных перевозках, т.к. сокращение перевозок снижает себестоимость продукции.

5. Замена пищевого сырья непищевым

Этиловый спирт не из картофеля, а гидролизный или из этилена. При синтезе синтетиче­ского каучука спирт как сырьевой продукт заменяют на бутан (из природного газа).

Основные методы обогащения твёрдых веществ:

1. Рассеивание (грохочение) основано на том, что минералы, входящие в состав сы­рья, имеют различную прочность, поэтому при дроблении менее прочные (хрупкие) мине­ралы дробятся на более мелкие зёрна, чем прочные (вязкие) материалы. Если после из­мельчения просеять такое сырьё через сито с отверстиями различного размера, то можно получить фракции, обогащённые тем или иным минералом.

2. Гравитационное разделение основано на различии скоростей осаждения частиц в жидкости или газе в зависимости от плотности или хрупкости этих частиц. Если осажде­ние производят в жидкости (чаще всего в воде), его называют мокрым гравитационным обогащением, если осаждение ведут в газе (чаще в воздухе), его называют сухим гравита­ционным обогащением.

3. Магнитная сепарация применяется для обогащения магнитновосприимчивых мате­риалов от немагнитных, а также для удаления стальных предметов, случайно попавших в руду; так отделяют магнитный железняк от пустой породы.

4. Флотационное обогащение основано на различной смачиваемости зёрен отдельных минералов водой. Частицы несмачиваемого (гидрофобного) материала не преодолевают силы поверхностного натяжения воды и остаются на её поверхности. Частицы смачивае­мого (гидрофильного) материала обволакиваются плёнкой жидкости и опускаются на дно аппарата. Несмачиваемый материал снимают с поверхности жидкости, отделяя от руды.

Жидкие растворы различных веществ концентрируют упариванием растворителя, вымораживанием, выделением примесей в осадок или в газовую фазу.

Газовые смеси разделяют на компоненты последовательной конденсацией, т.е. пе­реводят их в жидкое состояние при постепенном понижении температуры и сжатии. Этот метод основан на различии температур конденсации компонентов газовой смеси. В других случаях газовую смесь сначала превращают в жидкость, а затем последовательным испа­рением её разделяют на индивидуальные компоненты. Разделение газовых смесей осуще­ствляется также поглощением отдельных газов жидкостями (абсорбция) или твёрдыми веществами (адсорбция) с последующим выделением их из сорбентов в поглощенном виде.

А теперь перейдём к более подробному ознакомлению с теоретическими основами и технологиями процессов обогащения.

Как уже выяснили, первой стадией любого процесса обогащения твёрдых тел явля­ется стадия измельчения. В зависимости от размеров кусков исходного и измельчённого материала различают следующие классы измельчения:

По твёрдости измельчения материалы делят на твёрдые (твёрдость по Моосу 5-10) – это руды, породы, шлак; средней твёрдости (твёрдость 2-5) – известняк, каменная соль, уголь; мягкие (твёрдость <1) – глина, пластмассы, зерно.

Отношение диаметров кусков исходного и измельчённого материала d_н/d_к =i назы­вают линейной степенью измельчения, а отношение d_н³/d_к³ =i₀ – объёмной степенью из­мельчения. Под d_н и d_к подразумевают размеры наибольших кусков. При измельчении крупных и средних кусков обычно i = 3-8, а для мелких i = 10-50 и более. При этом, чем прочнее измельчённый материал, тем меньше величина i.

Одним из важнейших технико-экономических показателей процессов измельчения твёрдых материалов является расход энергии для совершения работы измельчения. Если предположить, что измельчение тело является однородным, абсолютно упругим и делится по строго определённому геометрическому закону, то расход энергии должен быть про­порционален величине вновь образованной поверхности в измельчённом материале (по­верхностная гипотеза Риттингера 1867 г.)

Так, например, тело кубической формы с длиной ребра d_н имеет поверхность F_н=6d_н³. Разрежем этот куб на z маленьких кубиков с длиной ребра d_к. Число этих кубиков будет равно d_н³/d_к³ , а их суммарная поверхность F_x=6 (d /d )=6d_к²i₀. Вновь образованная поверхность выражается формулой F=F_x–F_н=6d (i–1).

Принимая, что на образование единицы поверхности затрачивается работа А_у, получим выражение для работы на измельчение рассматриваемого тела

А=6А_уd (i–1)

Величина А_у теоретическому определению не поддается и находится опытным путем в каждом конкретном случае применительно к данному материалу, данной машине и данной степени измельчения. Она одновременно и отражает отклонение от всех ранее сделанных предположений. Величина А всегда больше теоретической т.к. энергия дополнительно тратится на деформацию тела. Теория также не учитывает различную форму кусков материала и применима лишь в случаях измельчения резаньем и истиранием и для мелкого дробления.

При измельчении материала методами раздавливания, удара и для хрупкого и среднего дробления практически оправдывается гипотеза Кирпичева-Кика (1874), базирующаяся на теории упругости, согласно которой расход энергии пропорционален разрушающему напряжению, и энергия расходуется на деформацию материала до его разрушения.

Вывод: под действием силы Р кусок материала деформируется до разрушения

σ_р – разность напряжения

l – начальный размер

Δl – деформация

Работа A = PΔl если P= относительное сжатие (по закону Гука)

E – модуль упругости

тогда

A=

Разнообразие физико-химических свойств твердых материалов привело к созданию ряда измельчающих машин, отличающихся принципом действия.

Принципы измельчения твердых материалов следующие:

– раздавливание,

– раскалывание,

– истирание,

– удар.

Обобщенная теория:

A = 6A’d_н²(i–1) + σ

мелкое крупное

В зависимости от свойств материала применяют тот или иной метод, или сразу несколько методов.

Например:

Для крупного и среднего дробления применяются:

1. Щековые дробилки (раздавливание)

2. Конусные дробилки (раздавливание + истирание)

Для мелкого измельчения и тонкого помола применяются:

1. Молотковые мельницы (удар + истирание)

2. Шаровые (барабанные) мельницы (удар + истирание)

Щековые дробилки

Рабочими элементами щековых дробилок являются неподвижная и подвижная щеки, образующие свободную полость (открытая система) сечение которой уменьшается сверху вниз.

1 – неподвижная щека

2 – подвижная щека

3 – эксцентрик с шатуном

Материал, загружаемый сверху, при сближении подвижной щеки измельчается, а при её удалении уходит в приемный бункер.

Важным параметром щековой дробилки является угол α между ее щеками, обеспечивающий захват материала. α – угол захвата, его можно определить из баланса сил, действующих на кусок материала, зажатого между щеками.

Равнодействующая сил давления Р → R стремится выбросить материал из пасти дробилки.

R=2Psin( )

С другой стороны проекции сил трения fР стремится удержать материал.

R’=2fPcos( )

Следовательно, материал останется в пасти если

R’ R 2fPcos( ) 2Psin( ) f ≥ tg( ); f ≈ 0.3

α ~ 30-40°

Конусные дробилки

Основными рабочими элементами конусных дробилок являются два усеченных конуса, размещенных один в другом, из которых внешний неподвижен, а внутренний вращается.

1 – неподвижный конус

2 – подвижный конус

3 – эксцентрик

Крупность материала регулируют подъёмом подвижного конуса.

В отличие от щековой дробилки, здесь измельчение материала происходит непрерывно. Но в обоих случаях силы действуют одни и те же и f ≥ tg( )

Молотковые мельницы

Основными рабочими элементами молотковых мельниц являются молотки (4 или 6), которые свободно подвешиваются на вращающихся дисках.

1 – молотки

2 – диски

3 – стяжки

4 – вал

5 – под (решётка)

Материал поступает через верхнюю воронку, попадает под удар быстро вращающихся молотков, измельчаясь как при столкновении с ним, так и при ударе о подовую решётку и добавочно измельчаются при движении молотков по решётке. Размер частиц измельчённого материала определяется отверстиями в решётке.

Шаровые мельницы

Основными рабочими элементами шаровых (барабанных) мельниц являются шары или стержни, находящиеся во вращающемся барабане.

Различают шаровые мельницы периодического действия (для мелких партий материала) и непрерывного (для крупных производств).

Измельчение материала происходит при падении шаров из верхней части барабана (удар) и при движении шаров в нижней части (истирание)

Сила удара определяется углом подъёма шаров, которая зависит от скорости вращения барабана.

С увеличением скорости вращения барабана увеличивается центробежная сила и увеличивается угол подъёма шаров. Если увеличить ещё скорость, то шары описывают полную окружность и измельчение не происходит. Допустим, что шар находится в точке отрыва А и на него действуют силы

1. Сила трения P

2. Центробежная C’

C’ =

g – ускорение свободного падения

R – радиус барабана

3. Радиальная составляющая силы тяжести

P_c = Psin α

Поскольку , n – число оборотов, то условие истирания запишется

C’ < P_c < Psinα (выразим n)

n < ; примем π² ≈ g

n < 30

в критической точке А (когда истирания нет) sinα = sin 90° =1

n_кр=

n_кр зависит только от радиуса, а не от шаров.

Используют n = 0,75n_кр и R_шара =0,1R_{барабана}.

Методы обогащения