Методы интегрирования уравнения движения поезда.

Все практические вопросы тяги поездов: определение массы состава, скоростей движения, времени прохождения отдельных перегонов, решение тормозных задач, определение расхода электроэнергии и топлива решаются при помощи уравнения движения поезда.

Кратко рассмотрим некоторые способы решения уравнения движения поезда, используемые на практике до сих пор.

1.3.1. Графический метод.Исторически первым методом, примененным для практических задач, был графический метод, предложенный группой русских инженеров, работавших в конторе опытов при Министерстве путей сообщения (способ МПС). Графический метод основан на принципе конечных приращений и геометрической связи диаграммы равнодействующих сил f_y = ¦(V) и интегральной кривой V = ¦(s), существующей благодаря общей зависимости сил f_y и пути s от скорости.

Графический метод дает сравнительно невысокую точность расчетов и требует больших затрат времени. В настоящее время этот метод утратил свое значение и заменяется численными расчетами на ЭВМ.

1.3.2. Аналитический метод. Запишем уравнение движения поезда, развернув его правую часть:

,

где f_к и b_к – соответственно удельная сила тяги и торможения;

w_о, w_i, w_r – удельное сопротивление движению, соответственно основное, от уклонов, кривых.

Из анализа приведенного выражения следует, что уравнение движения поезда возможно интегрировать по:

- пути;

- скорости;

- времени.

Для реализации этих возможностей необходимо иметь аналитические зависимости всех входящих в него составляющих, причем, зависимости необходимо иметь от той переменной, по которой производится интегрирование.

Из всех составляющих уравнения движения только для основного сопротивления движению существуют аналитические зависимости в функции скорости (w_о = f(V)). Для механического колодочного торможения существуют аналитические зависимости коэффициента трения от скорости движения, поэтому получить зависимость b_к = f(V) так же нетрудно.

Тяговые, а так же тормозные характеристики электрического торможения большинства типов ЭПС, как правило, представлены в графическом или табличном виде в функции скорости. Для использования этих характеристик при аналитическом методе решения уравнения движения необходимо преобразовать их в аналитические выражения, что нетрудно сделать с использованием современных математических компьютерных пакетов.

Зависимость сопротивления движению от уклонов обычно представлена в функции пути. Зависимость сопротивления движению от кривых может быть представлена одновременно в функции пути и скорости:

где R_кр – радиус кривой;

t_к – непогашенное ускорение в кривой.

,

где h – возвышение наружного рельса в кривой;

S_к – расстояние между кругами катания колес;

g – ускорение свободного падения.

Наиболее простая и наглядная формула получается при отсутствии возвышения наружного рельса:

.

Получить зависимости сопротивления движению от уклонов и кривых в функции скорости возможно только в том случае, если уже имеется зависимость скорости от пути.

Из сказанного выше следует сделать вывод, что решение уравнения движения поезда аналитическим методом в чистом виде практически не встречается.

Для практических задач используются менее точные методы, сущность которых сводится к замене дифференциалов конечными приращениями. Уравнение движения в этом случае приобретает вид:

.

Величины, входящие в правую часть уравнения на каждом шаге расчета принимаются постоянными – т.е. производится кусочно-линейная аппроксимация интегральных кривых. Проанализируем, какую из переменных наиболее рационально принимать за независимую.

В случае использования в качестве независимой переменной скорости расчет на каждом шаге производится в следующем порядке: DV_i ® Dt_i ® Ds_i.

;

Ds_i = V_срi × Dt_i.

Здесь V_срi – средняя скорость движения на i-м шаге расчета:

.

Из выражения для приращения времени видно, что величины сопротивления движению от уклонов и кривых "запаздывают" на один шаг расчета, что приводит к некоторой погрешности вычислений. Кроме этого, данный метод неприменим при установившемся режиме движения (f_у ® 0 Þ Dt ® ¥).

В случае использования в качестве независимой переменной времени расчет на каждом шаге производится в следующем порядке: Dt_i ® DV_i ® Ds_i.

DV_i = Dt_i × z × (f_к(V_i-1) – w_o(V_i-1) – b_к(V_i-1) – w_i(s_i-1) – w_кр(V_i-1,s_i-1));

Ds_i = V_срi × Dt_i.

В данном случае "запаздывают" все составляющие удельной ускоряющей силы, но нет проблем с установившимся режимом движения.

В случае использования в качестве независимой переменной пути расчет на каждом шаге производится в следующем порядке: Ds_i ® DV_i ® Dt_i.

;

.

Как следует из приведенных выше выражений, наименьшую погрешность должно дать интегрирование уравнения движения по скорости. Однако этот способ не позволяет интегрировать уравнение при установившемся режиме движения. Для исключения значительных погрешностей вычислений при подходе к установившемуся режиму движения (вследствие больших приращений пройденного пути возможен "пропуск" элементов профиля) следует, во-первых, уменьшать шаг интегрирования, и, во-вторых – при попадании величины удельной ускоряющей силы в некоторый диапазон f_{у min} £ f_у £ f_{у max} следует считать режим движения установившимся. Величина диапазона выбирается исходя из требуемой точности расчетов.

При моделировании пуска или электрического торможения электропоездов с контакторно-реостатной системой регулирования удобно интегрирование уравнения движения по току тягового двигателя (косвенное интегрирование по скорости). При этом

,

где U_дi – напряжение, прикладываемое к тяговому двигателю на i-м шаге;

I_дi × (r_дi + r_пi) – падение напряжения на активном сопротивлении обмоток тягового двигателя и пускового резистора;

Сф_i – магнитный поток, соответствующий току I_дi.

Использование тока тягового двигателя в качестве независимой переменной при интегрировании уравнения движения поезда имеет еще одно преимущество перед остальными способами – возможность уменьшения памяти ЭВМ, необходимой для хранения тяговых и тормозных характеристик ЭПС и уменьшения предварительной работы по обработке характеристик и вводу их в ЭВМ.

Поскольку решение уравнения движения поезда, как правило, подразумевает выбор оптимального с точки зрения расхода электроэнергии режима движения поезда, то необходимо иметь два семейства характеристик – тяговые (тормозные) и токовые. Как известно, сила тяги на ободе колеса определяется выражением

F_к = СФ_к × I_д,

скорость движения

.

В оба выражения входит величина нагрузочной характеристики тягового электродвигателя СФ_к, приведенной к ободу колеса. Следовательно, оба семейства характеристик можно описать имея зависимость СФ_к = ¦(I_в).

Таким образом, в режимах тяги и электрического торможения уравнение движения поезда для практических задач целесообразно интегрировать по току тягового электродвигателя; в режимах выбега и механического торможения – по скорости. При подходе к установившемуся режиму шаг интегрирования следует уменьшать. Критерием выбора величины шага интегрирования может быть точность расчетов, например допустимая погрешность прицельного торможения у остановочного пункта или длина элемента профиля. В установившихся режимах интегрировать уравнение движения следует по времени или пути.