Нормальное распределение.

Говорят, что случайная величина нормально распределена или подчиняется закону распределения Гаусса, если ее плотность распределения имеет вид

(3.11)

где - любое действительное число, а . Смысл параметров и будет установлен в дальнейшем. Исходя из связи между плотностью распределения и функцией распределения F(x) [см. формулы (3.5, 3.8)], имеем

График функции симметричен относительно прямой . Несложные исследования показывают, что функция достигает максимума при , а ее график имеет точки перегиба при и . При график функции асимптотически приближается к оси Ox. Можно показать, что при увеличении кривая плотности распределения становится более пологой. Наоборот, при уменьшении график плотности распределения сжимается к оси симметрии. При осью симметрии является ось Oy. На рис. 3.11 изображены два графика функции . График I соответствует значениям , , а график II - значениям , .

Покажем, что функция удовлетворяет условию (3.7), т.е. при любых и выполняется соотношение

В самом деле, сделаем в этом интеграле замену переменной, полагая . Тогда

В силу четности подынтегральной функции имеем

.

Следовательно,

Но, .

В результате получим

(3.12)

Найдем вероятность . По формуле (3.6) имеем

Сделаем в этом интеграле замену переменной, снова полагая . Тогда , и

(3.13)

Как мы знаем, интеграл не берется в элементарных функциях. Поэтому для вычисления определенного интеграла (3.13) вводится функция, которую мы определяли раньше [формула (2.9)] :

(3.14)

называемая интегралом вероятностей.

Для этой функции составлены таблицы ее значений для различных значений аргумента (см. табл. II Приложения). Используя формулу (3.13) получим:

Итак,

(3.15)

Легко показать, что функция Ф(х)(интеграл вероятностей) обладает следующими свойствами.

1°. Ф(0)=0

2°. ;

при величина практически равна 1/2 (см. табл. II).

3°. ,

т.е. интеграл вероятностей является нечетной функцией.

График функции Ф(х) изображен на рис. 3.12.

Таким образом, если случайная величина нормально распределена с параметрами a и , то вероятность того, что случайная величина удовлетворяет неравенствам , определяется соотношением (3.15).

Пусть . Найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина отклонится от параметра a по абсолютной величине не более чем на , т.е. рассмотрим неравенство - .

Так как неравенство равносильно неравенствам , то полагая в соотношении (3.15) , получим

Вследствие того, что интеграл вероятностей - нечетная функция, имеем

(3.16)

Пример 1. Пусть случайная величина подчиняется нормальному закону распределения вероятностей с параметрами , .

Определить:
1) ; 2) ;

Решение: 1) Используя формулу (3.15), имеем

Из таблицы II находим, что , . Следовательно

2) Так как , то . По формуле (3.16) находим

Пример 2. В каких пределах должна изменяться случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, чтобы .

Решение: По формуле (37) имеем

.

Следовательно, . Из табл. II находим, что этому значению соответствует , откуда .

Из последнего примера следует, что если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, то можно утверждать с вероятностью, равной 0,9973, что случайная величина находится в интервале . Так как данная вероятность близка к единице, то можно считать, что значения нормально распределенной случайной величины практически не выходят за границы интервала . Этот факт называют правилом трех сигм.

Аналогично можно посчитать, что вероятность того, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, заключена в интервале , равна 95,44 % .Соответственно в интервале равна 67,26 % .То есть:

Данные условия наглядно изображены на рис. 3.13.