Основы математического моделирования

Отметим основные операции математического моделирования.

1. Линеаризация. Пусть дана математическая модель

М=М(X, Y, A),

где X - множество входов, Y - множество выходов, А - множество состояний системы. Схематически можно это изобразить так:

X A Y.

Если X, Y, A - линейные пространства (множества), а и

: X A, : A Y

- линейные операторы, которые любые линейные комбинации ax + by преобразуют в линейные комбинации типа

a (x) + b (y),

то система (модель) называется линейной. Все другие системы (модели) - нелинейные. Они труднее поддаются исследованию, хотя и более актуальны. Нелинейные модели менее изучены, поэтому их часто линеаризуют - сводят к линейным моделям.

Например, применим операцию линеаризации по Тейлору в точке t0 = 2 к модели

У(t) = at²/2, 0 t 4,

которая является нелинейной (квадратичной). Такая процедура линеаризации дает уже линейную модель вида y = 2at - 2a.

2. Идентификация. Пусть модель системы в общем виде представлена следующим образом:

М = М(X, Y, A), A = {a_i}, a_i = (a_i1, a_i2, ..., a_ik)

a_i - вектор состояния объекта (системы). Если вектор ai зависит от некоторых неизвестных параметров, то задача идентификации состоит в определении модели или ее параметров по некоторым дополнительным условиям, например, экспериментальным данным, характеризующим состояние системы.

Идентификация –это задача построения по результатам наблюдений математических моделей, адекватно описывающих поведение системы.

Пусть S={s₁, s₂, ..., s_n} - некоторая последовательность сообщений или данных, получаемых от источника информации о системе,

М={m₁, m₂, ..., m_z} - последовательность моделей, описывающих S, среди которых, возможно, содержится оптимальная (в каком-то смысле) модель, то идентификация модели М означает, что последовательность S позволяет различать две разные модели в М.

Цель идентификации - построение надежной, адекватной, эффективно функционирующей, гибкой модели на основе минимального объема информативной последовательности сообщений.

Наиболее часто используемыми на практике методами идентификации систем являются:

· метод наименьших квадратов,

· метод максимального правдоподобия,

· метод байесовских оценок,

· метод марковских цепных оценок,

· метод эвристик,

· экспертное оценивание и др.

Пример. Применим операцию идентификации параметра a в модели у=at²/2, 0 t 4.

Решение. Для этого необходимо задать дополнительно значение y для некоторого t, например, y = 6 при t = 3. Тогда из модели получаем: 6 = 9a/2, a = 12/9 = 4/3. Идентифицированный параметр а определяет следующую модель y=2t²/3. Методы идентификации моделей могут быть несоизмеримо сложнее, чем приведенный прием.

3. Оценкаадекватности (точности) модели.

Пример. Оценим адекватность (точность) модели , полученной в результате линеаризации. В качестве меры (критерия) адекватности рассмотрим привычную меру - абсолютное значение разности между точным значением и значением, полученным по модели. Если эта величина не велика и приемлема, то делается вывод о точности и адекватности модели.

4. Оценка чувствительности модели

Из примера, рассмотренного выше, следует, что чувствительность модели у = 2at - 2a, 0 t 4 такова, что изменение входного параметра t на 1% приводит к изменению выходного параметра y на величину 0%, т.е. эта модель является мало чувствительной к изменению t,т.е. инвариантной. При измененииtна величину, превышающую 2а%, чувствительность модели будет возрастать.