События и действия (операции) над ними.
Событием является подмножество пространства элементарных событий W. При этом, если W дискретное, то любое его подмножество является событием. Если W не является дискретным, то не всякое подмножество является событием. В этом случае вводится понятие алгебры событий, которые подчиняются некоторым определенным свойствам. События обозначаются большими латинскими буквами с индексами или без них. Например, в опыте К1 событие А “выпало четное число” равно {2, 4, 6}.
Определение. Говорят, что произошло событие А, если результате опыта произошло элементарное событие, входящее в А.
Так как само множество W Ì W и пустое множество Æ Ì W, то они являются событиями. Событие W называется достоверным, если оно происходит обязательно. Событие Æ называется невозможным, оно не произойдет никогда, так как не содержит ни одного элементарного события. Если событие А отлично от W и Æ, то невозможно до опыта наверняка предугадать, произойдет оно или нет. Поэтому события в теории вероятностей называются случайными.
Суммой двух событий А и В называется событие, которое происходит в том и только в том случае, когда происходит хотя бы одно из событий А, В. Сумма обозначается А + В. Таким образом, А + В = А È В (объединение множеств А и В)
Произведением двух событий А и В называется событие, которое происходит в том и только в том случае, когда происходит и событие А и событие В. Произведение обозначается АВ. Таким образом, АВ = А Ç В (пересечение множеств А и В).
Разностью между событиями А и В называется событие, которое происходит в том и только в том случае, когда происходит событие А, но не происходит событие В. Разность обозначается А–В. Таким образом, А–В = А \ В (разность между множествами А и В).
Событие W – А называется противоположным событием событию А и обозначается .
Очевидно, А происходит в том и только в том случае, когда противоположное ему событие не происходит.
События А и В называются несовместными, если они не могут произойти вместе. Это значит, что АВ = Æ.
Говорят, что из события А следует событие В (или событие А влечет событие В), если из того, что событие А произошло следует что и событие В произошло. Этот факт обозначается А Ì В или А Þ В.
Рассмотрим опыт К1. Пусть А – “выпало четное число”, В – “выпало простое число”. А = {2, 4, 6}, В = {2, 3, 5}. А + В = {2, 3, 4, 5, 6}, АВ = {2}, А–В = {4, 6},
= {1, 3, 5}. События А и несовместны.
Замечание. Операции сложения, умножения событий, понятие несовместности можно определить для трех, четырех и т.д. событий.
Свойства операций над событиями.
1) А+В = В+А | 2) АВ=ВА |
3) А+А = А | 4) АА=А |
5) А+ W = W | 6) А W = А |
7) А+Æ = А | 8) АÆ = Æ |
9) (А+В)С=АС+ВС | 10) АВ+С=(А+С)(В+С) |
11) | 12) |
13) A + =W | 14) A = Æ |
Свойства 11 и 12 называются правилами де Моргана.
Дата добавления: 2017-02-13; просмотров: 1238;