Логические операции и способы их аппаратурной реализации.

Алгебра логики, разработанная в середине прошлого века ирландским математиком Д.Булем, является научной основой работы цифровых устройств. В ней действуют принципы (правила), схожие с обычной алгеброй, но буквами (символами) обозначаются не числа, а высказывания. В алгебре Буля переменные принимают только два дискретных значения: логическая 1 приписывается истинному высказыванию и логический 0 - ложному (неистинному). Символы нельзя рассматривать как арифметические числа, т.е. алгебра логики является алгеброй состояний, а не чисел. Аппарат алгебры логики используют как для анализа, так и проектирования (синтеза) логических устройств любой сложности в системах цифровой обработки информации. В этом случае можно проводить все исследования строго математически.

Основные логические операции включают следующие элементарные преобразования двоичных сигналов.

1. Логическое сложение или дизъюнкция (от английского disjunction - разъединение), обозначаемое символом и называемое также операцией ИЛИ. Эта операция описывается для простейшей функции двух переменных x1 и x2 (см. рис. 13.1, б) в виде логической формулы

(13.3)

Соотношение (13.3) означает, что функция yд равна 1, если хотя бы один из аргументов (x1 или x2) равен 1.

Условное обозначение, таблица истинности и другие показатели этой логической функции приведены в табл. 13.2.

Заметим, что таблицей истинности называют функциональную взаимосвязь значений выходной величины y_i логического устройства с каждой из возможных i-х комбинаций входных переменных x₁, x₂, ..., x_n, представленных в табличной форме. Как отмечалось [см. (13.1)], для функции n переменных таких комбинаций будет

В простейшем случае двух переменных x₁ и x₂ таблица истинности (см. пятую строку первых двух столбцов таблицы 13.2) будет насчитывать

комбинации этих переменных.

Анализируя таблицу 13.1 и таблицу 13.2 можно отметить, что столбец y₂ соответствует операции логического сложения. Наиболее просто эту операцию можно реализовать с помощью контактной цепи с двумя параллельно включенными контактами (рис. 2 в табл. 13.2). Сигнал y_д на выходе такой цепи появится только в том случае, если хотя бы один из контактов замкнут.

В цифровой электронике операцию логического сложения легко реализуют с помощью двух диодов (с независимыми входами), работающих на одно нагрузочное устройство с сопротивлением R. Принципиальная схема такой электронной цепи приведена на рис. 3 табл. 13.2. Как видно из рис. 3, сигнал на выходе цепи, соответствующий логической 1, имеет место только в том случае, если на входе хотя бы одного из диодов также существует сигнал, соответствующий логической 1. Этот сигнал открывает диод, в результате чего в нагрузочном устройстве появляется ток, обеспечивающий соответствующее логической 1 выходное напряжение цепи.

2. Логическое умножение или конъюнкция (от английского conjunction - соединение), обозначаемое символом и называемое операцией И. Условное обозначение & конъюнкции на логических схемах (см. рис. 4 табл. 13.2) именуют амперсендом. Для удобства записи сложных логических функций символ конъюнкции можно условно отождествлять со знаком обычного умножения. Для функции двух переменных в этом случае имеем

(13.4)

Соотношение (13.4) показывает, что y_к=1 только в том случае, когда оба аргумента (x₁ и x₂) становятся равными 1.

Таблица 13.2 Формы отображения основных логических операций

Условное обозначение и другие показатели функции y_к представлены во втором столбце таблицы 13.2. Вновь анализируя таблицу 13.1, отметим, что столбец с y₁₅ отвечает операции логического умножения. Эта операция может быть реализована контактной цепью, принципиальная схема которой приведена на рис. 5 (табл. 13.2), а принципиальная схема электрической цепи, действие которой аналогично контактной, показана на рис. 6. Сигнал на выходе электронной цепи, равный примерно U_п, что соответствует y_к=1, можно получить только в том случае, если оба диода заперты, т. е. на их катоды подан высокий потенциал (по отношению к аноду), соответствующий входным сигналам x₁=1 и и x₂=1.

3. Логическое отрицание или инверсия, обозначаемое черточкой над переменной и называемое операцией НЕ. Эта операция записывается

(13.5)

Как видно, операция выполняется над одной переменной x и значение у_и всегда противоположно значению этой переменной. Условное обозначение и другие показатели функции у_u приведены в третьем столбце таблицы 13.2.

Реализация логической операции НЕ может быть также осуществлена контактной цепью, но (в отличие от цепей, рассмотренных на рис. 2 и 5) с помощью нормально замкнутых контактов электромагнитного реле (рис. 8). Отсутствие напряжения на обмотке реле (х=0) предполагает замыкание цепи и появление сигнала на ее выходе, соответствующего логической 1 (у_u =l). При наличии напряжения (логической 1) на обмотке реле (х=1) цепь разомкнута и сигнал на выходе цепи отсутствует (у_u =1).

Логическая операция инверсии сравнительно легко реализуется в электронике цепью простейшего усилителя при включении транзистора в схему ОЭ (рис. 9 табл. 13.2), которая обладает инвертирующим свойством. Действительно, когда транзистор работает в режиме насыщения (при входном напряжении, соответствующем логической 1), выходной сигнал

Когда же транзистор заперт (при отсутствии входного сигнала: х=0),

что соответствует логической 1.

Сопоставляя таблицы истинности для операций дизъюнкции и конъюнкции (см. таблицу 13.2), можно обосновать следующие соотношения алгебры Буля, имеющие большое практическое значение.

Принцип дуальности, который удобно выразить в виде двух положений:

(13.6)

Правило де Моргана вытекает как следствие принципа дуальности и формулируется в виде двух логических соотношений:

(13.7)

Приведенные соотношения (13.6) - (13.7) можно легко обобщить для n входных сигналов x₁, x₂, ..., x_n. Их широко используют для преобразования сложных логических функций к более простому виду (минимизации функций) при проектировании (синтезе) логических устройств цифровой электроники.

Рассмотренные выше основные логические операции И, ИЛИ и НЕ образуют функционально полный набор, т.е. позволяют реализовать любые логические функции (преобразования) комбинационной логики. Строго говоря, для этой цели можно ограничиться даже двумя операциями, например ИЛИ и НЕ. Однако при использовании только этих трех элементов не всегда удается получить логические устройства наипростейшего вида. Поэтому в логических системах находят применение и другие типовые элементы, реализующие иные логические операции, показанные в таблице 13.1.

Особое значение в цифровой микроэлектронике уделяется двум универсальным логическим операциям, каждая из которых способна самостоятельно образовать функционально полный набор. Как известно, в случае применения только одного базового элемента наблюдается заметное усложнение проектируемых логических устройств. Однако в интегральной технологии удобство изготовления одного базового элемента имеет решающее значение. Поэтому универсальные логические элементы составляют основу большинства интегральных цифровых микросхем.

Универсальные логические операции, реализуемые базовыми элементами, включают две следующие разновидности (для удобства сохраним имеющийся порядок нумерации операций).

4. Функция Шеффера, обозначаемая символически вертикальной черточкой | (штрих Шеффера), отображает операцию И-НЕ. Этой операции соответствует столбец y₅ в таблице 13.1. Для простейшей функции двух переменных x₁ и x₂ в этом случае получают:

(13.8)

Формула (13.8) указывает на то, что функция y_ш=0 тогда и только тогда, когда x₁=x₂=1.

5. Функция Пирса, обозначаемая символически вертикальной стрелкой (стрелка Пирса), выражает операцию ИЛИ-НЕ. Этой операции соответствует столбец y₁₂ в таблице 13.1. Для функции двух переменных x₁ и x₂ она записывается в виде:

(13.9)

Соотношение (13.9) означает, что y_n=1 тогда и только тогда, когда x₁=x₂=0.

Важнейшие показатели универсальных логических операций представлены в таблице 13.3

Таблица 13.3. Формы отображения универсальных логических операций

Реализацию операций И—НЕ и ИЛИ—НЕ не представляет труда осуществить также в контактной цепи, применяя для этой цели электромагнитные реле с нормально замкнутыми (в отсутствие сигнала на входе управления реле, соответствующее отсутствию напряжения на его обмотке) контактами. Для реализации операции И—НЕ электромагнитные реле включают в цепь параллельно (рис. 2, табл. 13.3), а в случае операции ИЛИ—НЕ — последовательно.