Среднеквадратическая ошибка отдельного измерения

Имея ряд истинных случайных ошибок (ф.93), встает вопрос, что принять за окончательный результат: среднеарифметическую из них или какую другую величину.

Например,

Δср=( Δ1+ Δ2+.....+ Δn)/n=[Δ]/n (94)

(Здесь и далее применяем Гауссов cимвол суммы [ ] ).

Но эта величина по первому и четвертому свойствам случайных ошибок будет равна нулю, значит, она не может характеризовать точность измерений.

Можно принять за ошибку отдельного измерения – среднеарифметическую по абсолютной величине:

Δср=(lΔ1l+lΔ2l+…+lΔnl)/n=[lΔl]/n (95)

Эта среднеарифметическая ошибка будет отражать реальность измерений, но недостаточно точно, так как большие по абсолютной величине ошибки будут нивелироваться и не окажут должного влияния на среднее значение ошибки.

Характеристикой точности отдельного измерения в теории ошибок служит предложенная Гауссом средняя квадратическая ошибка m, вычисляемая по формуле:

mІ=(Δ1І+Δ2І+....+ΔnІ)/n=[ΔІ]/n (96)

m=±Ц[Δ2]/n (97)

Это формула Гаусса.

Для оценки точности вычисления среднеарифметического значения измеренной величины произведем такие преобразования: выражение 91 перепишем

l1=X+D1

l2=X+D2 (98)

..................

ln=X+Dn

Сложим левые и правые части равенств (98) и разделим на n, введем обозначение Гаусса

[l]/n=X+(Δ1+Δ2+...+Δn)/n (99)

Заменим здесь левую часть равенства ф.95 на величину x (ф.89) и перенесем в левую часть значение Х, получим:

х-Х=(Δ1+Δ2+…+Δn)/n (100)

х-Х=[Δ]/n (101)

Если бы было сделано бесконечно большое количество измерений, то среднее арифметическое значение (правая часть 101) ошибок превратилась в ноль (по четвертому свойству случайных ошибок ф.89) и следовательно можно принять х=Х. Так как на практике производится конечное количество измерений, то

хХ и х-Х=ε (102)

где ε – малая величина, стремящаяся к нулю и равная нулю при бесконечно большом количестве измерений.

Поэтому можно считать, что среднее арифметическое х ближе по значению к истинной величине Х чем каждое отдельное измерение (li), и является вероятнейшим значением измеряемой величины.

Среднее арифметическое из ошибок (ε=[ D]/n) показывает степень приближения вероятнейшего значения к истинному и могло бы служить критерием оценки точности измерений. Однако, согласно закону компенсации случайных ошибок этот критерий может оказаться несостоятельным и величина ε не всегда дает возможность объективно оценить точность измерений.

Поэтому за критерий оценки точности измерений предложено считать среднеквадратическую ошибку.

Для того, чтобы избавиться от разнозначности ошибок, возведем каждую ошибку по отдельности в квадрат, просуммируем квадраты ошибок и разделим эту сумму на колличество измерений:

(Δ21+Δ22+...+Δ2n)/n=[Δ2]/n=m2 (103)

или

m=±[Δ2]/n (104)

В этой формуле m является средней квадратической ошибкой отдельного измерения. Для вывода средней квадратической ошибки всей серии измерений возведем в квадрат левые и правые части равенства (ф.100).

(х-Х)2=(Δ21+Δ22+…+Δ2n±2Δ1Δ2±2Δ1Δ3+…)/n2 (105)

Обозначим (х-Х)2=М2, сложим отдельные ошибки и их проиведения, введем обозначение Гаусса:

M2=[Δ2]/n2+2[Δ1Δ2]/n+… (106)

Так как сумма попарных произведений ошибок стремится к нулю (по свойству случайных ошибок), то исключим из равенства 106 удвоенные произведения, тогда:

M2=[ΔІ]/n2 (107)

Или

M=±Ц[DІ]/n (107а)