Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрике. Электрическое смещение.

Пусть имеются две бесконечно длинные разноименно заряженные плоскости плоского конденсатора с полем . В пространстве между ними внесем пластину из диэлектрика (рис. 18.3). В результате образования связанных поляризованных зарядов на поверхности диэлектрика, находящегося в электрическом поле, возникает дополнительное электрическое поле поляризационных зарядов диэлектрика . По принципу суперпозиции электрическое поле в диэлектрике равно . Выделим гауссову поверхность , охватывающую положительно заряженную пластину конденсатора и проходящую через диэлектрик (рис. 18.3).

Рис. 18.3

Запишем теорему Гаусса. При суммировании зарядов учтем свободные заряды конденсатора и связанные не скомпенсированные заряды диполей диэлектрической среды (на поверхности диэлектрика).

(*)

Обозначим поверхностную плотность связанных зарядов . Их результирующий заряд («минус» учитывает знак связанных зарядов).

Свяжем вектор поляризованности с плотностью связанных зарядов. Выделим из диэлектрика прямоугольный параллелепипед с гранями, параллельными внешнему полю , длиной и основанием (рис. 18.4). Поверхностный заряд на основании параллелепипеда . Дипольный момент параллелепипеда обозначим (чтобы не перепутать с - элементарным дипольным моментом):
Рис. 18.4

С другой стороны из определения поляризованности дипольный момент параллелепипеда можно выразить как . Приравнивая правые части , получим . Как показывает соответствующий расчет, в общем случае произвольного расположения параллелепипеда в пространстве между пластинами конденсатора, плотность поляризационного заряда в произвольной точке поверхности равна нормальной составляющей (перпендикулярной к поверхности ) поляризованности в этой точке поверхности , тогда . Поскольку нормальная составляющая равна скалярному произведению на единичный вектор нормали т. е. , то , тогда .

Подставляя последнее выражение в (*), получим , или . Тогда .

Обозначим

(**)

Вектор называется вектором электрического смещения (или электрическим смещением). В результате получим:

Теорема Гаусса для поля в диэлектрике: поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных зарядов.