ВЕКТОРЫ И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ
Многие физические величины (перемещение, скорость, сила, и т.д.) являются векторными, поэтому твердое знание основных сведений о векторах и действиях с нимиявляется совершенно необходимой предпосылкой успешного изучения курса общей физики. Перечислим основные сведения о векторах, необходимые для дальнейшего:
1. Определение вектора. 2. Модуль вектора. 3. Коллинеарные и компланарные векторы. 4. Сложение и вычитание векторов. 5. Умножение вектора на скаляр. 6. Единичный вектор (орт). 7. Проекция вектора на заданное направление. 8. Выражение вектора через его проекции на координатные оси. | 9. Компоненты вектора. 10. Радиус-вектор. 11. Скалярное произведение векторов. 12. Векторное произведение векторов. 13. Смешанное произведение векторов. 14. Двойное векторное произведение векторов. |
В качестве примера действий с векторами рассмотрим производную по времени единичного вектора , задающего направление вектора
. Единичный вектор по определению имеет постоянный модуль, а значит изменяться может только по направлению.
Допустим, что за очень малый промежуток времени
вектор
, а вместе с ним и орт
поворачивается на угол
. В результате
получает приращение
=
, направление которого задается ортом этого приращения
.
При малом (и, соответственно,
) орт приращения вектора
, т.е. вектор
, можно считать практически перпендикулярным вектору
, а вектор
– катетом прямоугольного треугольника, противолежащим углу
. Тогда модуль приращения орта
,
. (1.1)
(Гипотенуза треугольника – вектор имеет единичную длину (ведь это единичный вектор!), а
при малых
(– проверьте на калькуляторе, если угол выражать в радианах!).
Таким образом, представив в виде произведения его модуля
на орт приращения
, можем записать (а так можно представить любой вектор!):
(1.2)
Необходимо учесть, что при орт
поворачивается и в пределе совпадает по направлению с ортом
перпендикуляра к вектору
, направленным в сторону поворота
, как это показано на рисунке 1. (Вектор
лежит в той плоскости, в которой поворачивается вектор
). Тогда производная по времени орта
может быть представлена в виде:
. (1.3)
Забегая вперед, отметим, что по смыслу представляет собой угловую скорость вращения вектора
.
Дата добавления: 2017-01-26; просмотров: 1421;