Геометрическое решение на комплексной плоскости неравенства В.М.Попова.

Выше все построения проводились на действительной плоскости XY, удобнее работать с комплексной плоскостью «W», на которой строится кривая Найквиста.

С этой целью по заданной функции W(j ω) рассмотрим функцию W*(jω), определяемую соотношением:

W*(j ω) = U(ω) + j ωV(ω) (28)

Функцию W*(j ω) назовём модифицированной частотной характеристикой. Действительная часть W*(jω) совпадает с действительной частью W(j ω), а мнимая часть W*(jω) получается посредством умножения на ω мнимой части W(jω).

Будем изменять переменную ω от нуля до бесконечности и построим график W*(jω) на комплексной плоскости. Сопоставляя выражение (28) и (25) убеждаемся, что модифицированная частотная характеристика полностью совпадает с кривой T(ω).

Сформулируем правило применения критерия В.М.Попова для исследования абсолютной устойчивости.

1) Устанавливаем, что нелинейный блок характеризуется классом S(μ₀). Исследуем устойчивость ЛСС и предельную устойчивость. Определяем число μ₀. Если линейный блок содержит два интегратора, то проверяем выполнение условия (20). Строим модифицированную частотную характеристику W*(jω). Проверяем, можно ли через точку провести прямую В.М.Попова так, чтобы модифицированная частотная характеристика была целиком расположена справа от прямой В.М.Попова (т.е. в полуплоскости, содержащей начало координат). Если прямую В.М.Попова указанным образом провести возможно, то положение равновесия абсолютно устойчиво, если нет – то возможны два варианта, т.к. критерий В.М.Попова – только достаточное условие: 1) положение равновесия не является абсолютно устойчивым; 2) положение равновесия является абсолютно устойчивым, хотя критерий В.М.Попова не удовлетворяется. Ситуация поясняется на рисунках 15 (a,b,c)

a) b) c)

Рис. 15

Случай на рисунке 15a. Критерий В.М.Попова удовлетворяется, положение равновесия абсолютно устойчиво.

Случай на рисунке 15b. Провести прямую В.М.Попова через точку невозможно, т.к. она всегда пересечет W*(jω). Критерий В.М.Попова не выполняется, но вопрос об абсолютной устойчивости положения равновесия остаётся открытым.

Случай на рисунке 15c. Положение равновесия заведомо неустойчиво, т.к. неустойчива ЛСС.