Квадратный трехчлен

I. Функции

Общие свойства

В математическом анализе исходят из определения функции по Лобачевскому и Дирихле. Если каждому числу х из некоторого множества F чисел в силу какого-либо. закона приведено в соответствие число у, то этим определена функция от одного переменного х и в общем записывается y=f(x).».

Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции. Символом f(x) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х.

Аналогично определяется функция, зависящая от нескольких переменных y=f(x)=f( ,

где х= (х ₁, ..., х _п) - точка n-мерного пространства; рассматривают также функции от точек

x=(x₁, х₂,...) некоторого бесконечномерного пространства, которые, впрочем, чаще называют функционалами.

Числовая функция определена на множестве D действительных чисел, если каждому значению переменной х поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное значение переменной y, где D – область определения функции.
Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.
Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Способы задания функции:
1. аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы);
2. табличный способ (функция задается с помощью таблицы);
3. описательный способ (функция задается словесным описанием);
4. графический способ (функция задается с помощью графика).
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.
1 Нули функции
Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю .
2. Промежутки знакопостоянства функции
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
3 Возрастание (убывание) функции.

Возрастающаяв некотором промежутке функция - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Функцияу = f (x)называется возрастающейна интервале (а; b), если для любых x₁ и x₂ из этого интервала таких, что x₁< x₂ , справедливо неравенство f(x₁)<f(x₂).

Убывающая в некотором промежутке функция - функция, у которой большему значению аргументаиз этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Функцияу =f (x)называется убывающейна интервале (а; b), если для любых x₁ и x₂ из этого интервала таких, что x₁< x₂, справедливо неравенство f(x₁)>f(x₂).

Ограниченная функция. Если существует такое число M, что . Например, функции

y=sinx иy=cosx, т.к. ,

4. Четность (нечетность) функции
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Например, у = х² - четная функция.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Например: у = х³ - нечетная функция.
Функция общего вида не является четной или нечетной (у = х²+х).
Свойства некоторых функций и их графики

1.Линейной функциейГрафиком линейной функции у = kx + b (k ≠ 0) является прямая проходящая через точку (0; b) и параллельная прямой у = kx.
Прямая, не параллельная оси Оу, называется функция вида y=kx+b,где k и b – числа.
Область определения линейной функции – множество R действительных чисел.
является графиком линейной функции.

Свойства линейной функции.

1. При k > 0 функция у = kx + b возрастающая в области определения.
2. При k < 0 функция у = kx + b убывающая в области определения.
3. Множеством значений функции y = kx + b (k ≠ 0) является вся числовая прямая, т.е. множество R действительных чисел.
При k = 0 множество значений функции у = kx + b состоит из одного числа b.

3. При b = 0 и k = 0 функция не является ни четной, ни нечетной.
При k = 0 линейная функция имеет вид у = b и при b ≠ 0 она является четной.
При k = 0 и b = 0 линейная функция имеет вид у = 0 и являете одновременно четной и нечетной.
Графиком линейной функции у = b является прямая, проходящая через точку (0; b) и параллельная оси ^ Ох. Заметим, что при b = 0 график функции у = b совпадаете осью Ох.

5. При k > 0 имеем, что у > 0, если и у < 0, если . При k < 0 имеем, что у > 0, если и у < 0, если .

2. Функция y = x²

Область определения этой функции - множество R действительных чисел.
Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле y = x² , изображаем график функции.

График функции y = x²называется параболой.

Свойства функции у = х².

1. Если х = 0, то у = 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0; 0) - начало координат.

2. Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.
3. Множеством значений функции у = х² является промежуток [0; + ∞).
4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. парабола симметрична относительно оси ординат (функция у = х² - четная при смене знак у аргумента с плюса на минус чётная степень также даёт плюс)
* - нечетная функция, например, функция у= – нечетная, т.к. у= = ,т при смене у аргумента плюса на минус, минус выносится из под знака функции.
.
5. На промежутке [0; + ∞) функция у = х² возрастает.
6. На промежутке (-∞; 0] функция у = х² убывает.
7. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.
3.Фунуция
Область определения этой функции - промежуток [0;+∞), т. е. все неотрицательные числа.
Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле у= ., изображаем график функции.

Свойства функции у= .
1. Если х = 0, то у = 0, т.е. график функции имеет с осями координат общую точку (0; 0) - начало координат.
2. Если х > 0, то у > 0, т.е. все точки графика функции, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.
3. Множеством значений функции у= . является промежуток [0;+∞).
4. Функция у= . не является ни четной, ни нечетной.
5. Функция у= . возрастающая в области определения.
6. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

4. Функция y = x³
Область определения этой функции - множество R действительных чисел. Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле у = х³, изображаем график функции.

График функции у= х³ называется кубической параболой.

Свойства функции y = x³.

1. Если х = 0, то у = 0, т.е. кубическая парабола пересекает оси координат в точке (0; 0) - начале координат.
2. Если х > 0, то у > 0, а если х < 0, то у < 0, т.е. кубическая парабола лежит в первом и третьем координатном углах.
3. Множеством значений функции у = х³ является вся числовая прямая.
4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то и значения функции отличаются только знаком, т.е. кубическая парабола симметрична относительно начала координат (функция у = х³ - нечетная).
4. Функция у = х³ возрастающая в области определения.

5. Функция y = |x|
Область определения этой функции - множество R действительных чисел.
Пользуясь определением модуля числа х при х > О получим у = х, а при х <0 получим у = - х. Таким образом, имеем:

График функции состоит из двух частей: части прямой у = х при х ≥ 0 и из части прямой у =- х при х < 0.

Свойства функции y =|x|
1. Если х = 0, то у = 0, т.е. график пересекает оси координат в точке (0; 0) - начале координат.
2. Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки графика функции y = |x|, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.
3. Множеством значений функции y = |x| является промежуток [0;+∞).
4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. график функции симметричен относительно ординат (функция y = |x| - четная).
5. На промежутке [0;+∞) функция y = |x| возрастает.
6. На промежутке (-∞;0] функция y = |x| убывает.
7. Наименьшее значение функция принимает в точке х, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

6. Функция
Область определения функции: .
Область значений функции: y ..
График — гипербола.
1. Нули функции. у ≠ 0, нулей нет.
2. Промежутки знакопостоянства,
Если k > 0, то у > 0 при х > 0; у < 0 при х < О.
Если k < 0, то у < 0 при х > 0; у > 0 при х < 0.
3. Промежутки возрастания и убывания.
Если k > 0, то функция убывает при ..
Если k < 0, то функция возрастает при ..
4. Четность (нечетность) функции.
Функция нечетная.

Квадратный трехчлен

Уравнение вида ax²+bx+c = 0, где a, b и с — некоторые числа, причем а≠0, называется квадратным.
В квадратном уравнении ax²+bx+c = 0 коэффициент а называется первым коэффициентом, b — вторым коэффициентам, с — свободным членом.
Формула корней квадратного уравнения имеет вид:
.
Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается через D.
Если D = 0, то существует только одно число, удовлетворяющее уравнению ax²+bx+c = 0. Однако условились говорить, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных действительных корня, а само число - называют двукратным корнем.
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.
Пусть дано квадратное уравнение ax²+bx+c = 0. Так как а≠0, то, разделив обе части данного уравнения на а, получим уравнение . Полагая и , приходим к уравнению , в котором первый коэффициент равен 1. Такое уравнение называется приведенным.
Формула корней приведенного квадратного уравнения имеет вид:
.
Уравнения вида
аx² +bx = 0, ax² + с =0, аx² = 0
называются неполными квадратными уравнениями.Неполные квадратные уравнения решаются разложением левой части уравнения на множители.