Сила притяжения и ее потенциал

Согласно закону всемирного тяготения, две точечные или сферические массы m₁ и m₂, расположенные на расстоянии r, притягиваются взаимно с силой

, (2.1)

где k – гравитационная постоянная, равная 6,673 10^-8 см³/(г с²) в системе СГС или 6,673 10^-11 м³/(кг с²). Как это видно из приведенной формулы, сила взаимного притяжения двух масс имеет размерность г см/с² = дин в системе СГС или кг м/с² = Ньютон в системе СИ.

Если в пространстве действуют силы, значит, должна быть энергия. Основной скалярной характеристикой поля притяжения является потенциал, который определяется как энергия (или работа) по перемещению единичной точечной массы из бесконечности в данную точку поля. В гравиразведке обычно потенциал обозначается буквами V или W. В дальнейшем мы будем означать гравитационный потенциал буквой V.

Сила притяжения, действующая на единичную точечную массу (m₁ = 1, m₂ = m), численно равна напряженности поля притяжения или ускорению, сообщаемому этой массе:

. (2.2)

Отсюда видно, что сила ньютоновского притяжения (2.1) отличается от ускорения (напряженности 2.2) размерностью (см/с² в системе СГС или м/с² в системе СИ), хотя для краткости ее часто называют силой притяжения. Напряженность определяется как градиент потенциала f = -grad V, где:

. (2.3)

Для точечных и сферических масс (2.4)

Если взять прямоугольную систему координат с точкой измерения в ее центре, расположив притягивающую массу в произвольной точке, то сила f будет направлена к центру притягивающей массы (рис. 2.1.). Спроецируем силу f на оси координат и обозначим углы между силой f и осями Х, Y, Z соответственно , , . Тогда составляющие напряженности определятся, как

, , . (2.5)

С учетом того, что , , , можно записать:

. (2.6)

Силу можно определить через составляющие, как (2.7)

Или, если обозначить ее через потенциал: . (2.8)

Для произвольных масс потенциал, напряженность поля и ее составляющие запишутся в виде объемных интегралов (плотность объекта считаем постоянной):

Рис. 2.1. Составляющие силы притяжения.

, , (2.9)

. (2.10)

Таким образом, потенциал притяжения – это такая функция, первые производные которой равны проекциям напряженности силы притяжения на эти оси. Это справедливо и для тел произвольной формы.

Потенциал силы притяжения обладает следующими свойствами

1. При перемещении точки в направлении, перпендикулярном действию силы, потенциал остается постоянным (уровенная или эквипотенциальная поверхность)
2. При перемещении массы по замкнутому контуру работа равна нулю
3. При перемещении точки вдоль действия силы f на расстояние dS приращение потенциала определяется, как произведение силы на расстояние: dV = f *dS (теорема Брунса)
4. Вне возмущающих масс действует уравнение Лапласа

(2.11)

1. Внутри возмущающих масс действует уравнение Пуассона

(2.12)