Общие уравнения электрического и теплового полей в кабелях

В общем случае при переменном токе должны рассматриваться электромагнитные процессы в изоляции кабеля. Из основ теории электротехники известно, что если длина электромагнитной волны в изоляции значительно больше диаметра кабеля, то электрическое и магнитное поля можно рассматривать отдельно. При этом для потенциала электрического поля в изоляции U применимо уравнение Пуассона

(7.1)

где Q — заряд единицы объема изоляции;

ε₀=8,85 10^-12 ф/м – диэлектрическая проницаемость вакуума;

– оператор Лапласа;

ε — относительная диэлектрическая проницаемость изоляции.

При постоянной нагрузке в кабеле имеет место стационарное тепловое поле; при этом для температуры В изоляции Т может быть записано уравнение

(7.2)

где q – выделение тепла в единицу времени в единице объема изоляции;

λ – теплопроводность изоляции.

При переменной нагрузке необходимы расчеты переходных тепловых процессов в кабеле, для которых справедливо уравнение

(7.3)

где а=λ/Сγ; С – теплоемкость и γ – плотность диэлектрика. При расчете электрического и теплового полей в кабеле находят применение в основном три указанных уравнения, которые справедливы при постоянных значениях ε, λ, γ, С.

Оператор Лапласа в цилиндрических координатах, наиболее удобных при вычислении электрического и теплового полей в кабелях, имеет следующий вид:

(7.4)

В частном случае, который имеет место в одножильных кабелях, потенциал зависит только от расстояния от центра кабеля.В этом случае оператор Лапласа будет иметь вид:

(7.5)

Если в диэлектрике не имеется объемных зарядов и не выделяется тепло, то для электрического и теплового полей будут справедливы уравнения Лапласа:

и (7.6)

Как правило, температуру оболочки можно считать постоянной во всех точках. В этом случае при заданных потенциале или температуре жилы и оболочки получим одинаковую картину электрического и теплового полей. Поэтому при тепловом расчете можно использовать решения, найденные для электрического поля.