Теорема сложения вероятностей: вероятность появления одного (безразлично какого) события из нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Для двух несовместных событий А и В вероятностей этих событий равна сумме их вероятностей:

Р(А или В)=Р(А) + Р(В).

Пример №3:найти вероятность выпадения 1 ил 6 при бросании игральной кости.

Событие А (выпадение 1) и В(выпадение 6) являются равновозможными: Р(А) = Р(В) = 1/6, поэтому Р(А или В) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Сложение вероятностей справедливо не только для двух, но и для любого числа несовместных событий.

Пример №4:в урне находится 50 шаров: 10 белых, 20 черных, 5 красных и 15 синих. Найти вероятность появления белого, или черного, или красного шара при однократной операции изъятия шара из урны.

Вероятность вынимания белого шара (событие А) равна Р(А) = 10/50 = 1/5, черного шара (событие В) равна Р(В) = 20/50 = 2/5 и красного шара (событие С) равно Р(С) = 5/50 = 1/10. Отсюда по формуле сложения вероятностей получим Р(А или В или С) = Р(А) +Р(В) =Р(С) = 1/5 + 2/5 + 1/10 = 7/10

Сумма вероятностей двух противоположных событий, как следует из теоремы сложения вероятностей, равна единице:

Р(А) + Р( ) = 1

В выше рассмотренном примере вынимание белого, черного и красного шара будет событием А₁, Р(А₁) = 7/10. Противоположным событием ₁ является доставание синего шара. Так как синих шаров 15, а общее количество шаров 50, то получаем Р( ₁) = 15/50 = 3/10 и Р(А) + Р( ) = 7/10 +3/10 = 1.

Если события А₁, А₂, ..., А_n образуют полную систему попарно несовместных событий, то сумма их вероятностей равна 1.

В общем случае вероятность суммы двух событий А и В вычисляется как

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р (АВ).

Теорема умножения вероятностей:

События А и В называются независимыми, если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет, и наоборот, вероятность появления события В не зависит от того, произошло событие А или нет.

Вероятность совместного появления независимых событий равна произведению их вероятностей. Для двух событий Р(А и В)=Р(А)·Р(В).

Пример: В одной урне 5 черных и 10 белых шаров, в другой 3 черных и 17 белых. Найти вероятность того, что при первом вынимании шаров из каждой урны оба шара окажутся черными.

Решение: вероятность вытаскивания черного шара из первой урны (событие А) – Р(А) = 5/15 = 1/3, черного шара из второй урны (событие В) – Р(В) = 3/20

Р(А и В)=Р(А)·Р(В) = (1/3)(3/20) = 3/60 = 1/20.

На практике нередко вероятность события В зависит оттого, произошло некоторое другое событие А или нет. В этом случае говорят об условной вероятности, т.е. вероятности события В при условии, что событие А произошло. Условную вероятность обозначают P(B/A).

Теорема умножения вероятностей усложняется, если определяется вероятность события, состоящего из совместного появления двух зависимых между собой событий. В том случае, когда событие В выполняется при условии, что событие А имело место, вероятность совместного появления двух этих событий равна

Р(А и В)=Р(А)Р(В/А).

В урне 5 шаров: 3 белых и 2 черных. Найти вероятность того, что последовательно один за другим будут вынуты черный и белый шары.

Вероятность того, что первым будет изъят черный шар (событие А), равна Р(А) = m/n = 2/5. После удаления черного шара в урне остается 4 шара: 3 белых и 1 черный. В этом случае вероятность вынимания белого шара (событие В после выполнения события А) равна Р(В/А) = ¾. Получаем Р(А и В)=Р(А)Р(В/А) = (2/5)(3/4) = 3/10.

Если событие А может произойти только с одним из событий Н₁,Н₂,…Н_n, которые образуют полную систему попарно несовместных событий, то вероятность события А определяется по формуле полной вероятности

Домашнее задание

Заполните в рабочей тетради занятие 11-12.

Лекция № 6

Тема: : Основные понятия теории вероятности и математической статистики