Математическая статистика

Типичная постановка задачи математической статистики такова: проделав выборочное обследование и получив тем самым совокупность реализаций случайной величины, вычислить с возможно большей точностью вероятностные характеристики этой случайной величины, то есть закон распределения или хотя бы его важнейшие числовые характеристики. Среди многообразия задач математической статистики мы ограничимся оценкой неизвестных параметров распределенной нормально случайной величины. Разобравшись в вопросах точечной и интервальной оценки параметров, мы научимся решать широкий круг задач из приложений. А овладение методом их решения позволит освоить и те разделы математической статистики, которые не вошли в предлагаемый курс.

Резюмируем кратко: цель математической статистики - сделать обобщающие выводы из имеющихся наблюдений над случайными величинами. Заметим, что в разделе “Оценка вероятности события” (2.4) мы уже познакомились с одним методом статистики - интервальной оценкой вероятности.

Метод, предлагаемый математической статистикой, состоит в том, что оцениваемые характеристики рассчитываются для выборки и объявляются оценками характеристик всей совокупности. Такая оценка дает значение параметра с некоторой погрешностью, так как сама является случайной величиной, зависящей от использованной при вычислении выборки. Для описания того, насколько можно доверять построенным по выборке оценкам или сделанным выводам, в математической статистике вводится специальное понятие “уровень доверия” к результатам обследования. Суть этого понятия состоит в следующем. В силу того, что все оценки делаются на основе выборки, они являются случайными значениями и им можно доверять не на все 100%, а лишь с некоторым “уровнем доверия”. “Уровень доверия” - это вероятность того, что выводы и оценки, сделанные на основе данных выборки, верны. Например, если уровень доверия для оценки взять 0,95, то из 100 выборок в среднем 5 дадут оценки, на основе которых будут сделаны неправильные выводы.

Таким образом, если делать на основе выборочного метода вывод о всей совокупности, вероятность ошибиться всегда остается. Но математическая статистика позволяет найти эту вероятность. Мы можем тогда решить для себя, на какой риск мы готовы пойти в каждом конкретном случае, и строить оценки с учетом допустимого риска. Математическая статистика предлагает нам методики, при использовании которых величина вероятности ошибки минимальна. Получив от математической статистики ответ, что новая технология лучше старой с уровнем доверия к этому высказыванию 95%, хозяин фирмы волен выбрать сам, как ему поступить. Если введение новой технологии не требует больших затрат, можно довольствоваться и таким уровнем доверия. Если затраты высоки, то, возможно, стоит добиться результатов, заслуживающих большего доверия, например, увеличить число объектов, участвующих в исследовании. Математическая статистика показывает, что чем больше число отобранных объектов, тем при той же точности меньше вероятность ошибки, и даже дает функциональную зависимость между объемом выборки и вероятностью ошибки.

Методы построения по выборке точечных и интервальных оценок для параметров всей совокупности применяются в самых разнообразных задачах. Для решения этих задач разработаны многочисленные статистические таблицы. Наша с вами задача – научиться основам этих методов.

Сначала введём ряд новых понятий и определений.