Перевод чисел из одной системы счисления в другую

При переводе чисел из любой системы счисления в десятичную достаточно записать число по общей формуле (по степеням основания исходной системы счисления) и подсчитать значение многочлена:

Разряды 3 2 1 0 -1

Число 1 0 1 1, 1₍₂₎ = 1×2³ + 0×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ + 0×2^–1 = 11,5₍₁₀₎.

Разряды 2 1 0 -1

Число 2 7 6, 5₍₈₎ = 1×8² + 7×8¹ + 6×2⁰ + 5×8^–1 = 190,625₍₁₀₎.

Разряды 2 1 0

Число 1 F 3₍₁₆₎ = 1×16² + 15×16¹ +3×16⁰ = 499₍₁₀₎.

Перевод десятичного числа в любую систему счисления производится отдельно для целой и дробной его частей.

Для перевода целой части десятичного числав любую систему счисления необходимо делить десятичное число на основание новой системы нацело (с остатком), полученное частное снова делить и так продолжать деление до тех пор, пока последнее частное не окажется меньше основания новой системы счисления. Целая часть числа в новой системе счисления запишется из получившихся при делении остатков, взятых в порядке, обратном их получению.

Схема алгоритма перевода целой части десятичного числа А в произвольную систему счисления с основанием р приведена на рис. 2. К расширенному понятию «алгоритм» мы обратимся в следующей теме курса, а пока дадим его определение с позиций теории множеств.

Алгоритмом называется двусортное множество

,

где – множество правил (процедур) решения задачи, обладающих следующими свойствами:

· массовости (инвариантности относительно входных данных);

· детерминированности (однозначности применения этих правил на каждом шагу);

· результативности (получения после применения этих правил искомого результата);

· элементарности (прозрачности) (отсутствия необходимости дальнейшего уточнения правил);

– бинарное отношение в множестве ( , , если после процедуры выполняется процедура .

Рис. 2. Алгоритм перевода целой части десятичных чисел

Пример. Переведём число 27 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы:

Результат перевода: 27₍₁₀₎ = 11011₍₂₎ = 33₍₈₎ = 1B₍₁₆₎. ▲

Перевод дробной части десятичного числа часто можно выполнить не точно, а с некоторой погрешностью. При этом надо определить необходимую точность (погрешность) перевода (задать количество значащих цифр после запятой).

Для перевода дробной части десятичного числа в любую систему счисления (рис. 3) необходимо умножить десятичное число А на основание новой системы р, полученную дробную часть снова умножить и так до тех пор, пока не получится требуемое количество К значащих цифр после запятой в числе в новой системе счисления.

Рис. 3. Алгоритм перевода дробной части десятичных чисел

Пример. Переведём с точностью до 3 знаков после запятой число 0,35 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы:

Результат перевода: 0,35₍₁₀₎ = 0,010₍₂₎ = 0,263₍₈₎ = 0,599₍₁₆₎. ▲

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисления достаточно прост.

Изображения целых чисел в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления вместе с их двоичным и десятичными эквивалентами представлены в табл. 1.

Таблица 1

Количественные эквиваленты чисел в системах счисления

Для перевода восьмеричного (шестнадцатеричного)числав двоичную систему достаточно каждую восьмеричную (шестнадцатеричную) цифру заменить тремя (четырьмя) двоичными цифрами:

537,1₍₈₎ = 101 011 111, 001₍₂₎; 1А3,F₍₁₆₎ = 1 1010 0011, 1111₍₂₎.

5 3 7 1 1 A 3 F

Для перевода двоичного числа в восьмеричную (шестнадцатеричную)систему счисления необходимо разделить двоичное число слева и справа от запятой на группы из трёх (четырёх) цифр и каждую группу заменить восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой. Если в крайних группах окажется меньше трёх (четырёх) цифр, то можно спереди целой части и позади дробной части числа, дописать необходимое количество нулей (эта операция не меняет значения исходного двоичного числа):

10101001,10111₍₂₎ = 010 101 001, 101 110₍₂₎ = 251,56₍₈₎;

2 5 1 , 5 6

10101001,10111₍₂₎ = 1010 1001, 1011 1000₍₂₎ = А9,В8₍₁₆₎.

А 9 , В 8