Декомпозиция нечетких отношений

Одно из важнейших свойств нечетких отношений заключается в том, что они могут быть представлены в виде совокупности обычных отношений, причем могут быть упорядочены по включению, представляя собой иерархическую совокупность отношений. Разложение нечеткого отношения на совокупность обыкновенных отношений основано на понятии -уровня нечеткого отношения. Здесь для простоты будем полагать, что линейно упорядочено.

-уровнем нечеткого отношения называется обычное отношение , определяемое для всех следующим образом:

Очевидно, что -уровни нечетких отношений удовлетворяют соотношению:

представляя собой совокупность вложенных друг в друга отношений.

Теорема. Нечеткое отношение обладает каким-либо свойством из перечисленных (кроме сильной рефлексивности, сильнойантирефлексивности, слабой линейности) тогда и только тогда, если этим свойством обладают все его -уровни.

Эта теорема играет важную роль в теории нечетких отношений. Во-первых, она показывает, что основные типы обычных отношений и их свойства могут быть обобщены и на случай нечетких отношений, и приводит ясный способ такого обобщения. Во-вторых, оказывается, что основные типы нечетких отношений могут быть представлены как совокупность, иерархия обычных отношений того же типа. И если решением практической задачи является получение на множестве некоторого отношения заданного типа, например эквивалентности или порядка, то построение на соответствующего нечеткое отношение позволяет получать сразу ансамбль необходимых обычных отношений, а это дает возможность учитывать неоднозначность решений, присущих практическим ситуациям, и предоставляет лицу, принимающему решение, некоторую свободу выбора. В-третьих, теория нечетких множеств, допуская подобную неоднозначность возможных решений, ограничений и целей, дает возможность оперировать сразу всей совокупностью таких объектов как единым целым.

Нечеткое отношение может быть представлено в следующем виде:

где отношения определяются следующим образом:

Кроме всех вышеописанных свойств, выполняющихся для всех -уровней, могут быть определены аналогичные свойства, выполняющиеся только для одного или нескольких -уровней. Приведем примеры таких -свойств, предполагая, что элемент фиксированный:

-симметричность

-транзитивность

Аналогично могут быть определены и другие -свойства. Они могут рассматриваться в задачах, в которых вводится порог на силу отношения либо ищется такое , при котором обладает требуемым свойством.