Транзитивное замыкание нечетких отношений
Большое значение в приложениях теории нечетких отношений играют транзитивные отношения. Они обладают многими удобными свойствами и определяют некоторую правильную структуру множества . Например, если отношение в характеризует сходство между объектами, то транзитивность такого отношения обеспечивает возможность разбиения множества на непересекающиеся классы сходства. Если же отношению в придать смысл "предпочтения" или "доминирования", тотранзитивность такого отношения обеспечивает возможность естественного упорядочения объектов множества , существование "наилучших", "недоминируемых" объектов и т.п. Поэтому представляет большой интерес возможность преобразования исходного нетранзитивного отношения в транзитивное. Такое преобразование обеспечивает операциятранзитивного замыкания нечеткого отношения.
Транзитивным замыканием отношения называется отношение , определяемое следующим образом:
где отношения определяются рекурсивно:
Теорема. Транзитивное замыкание любого нечеткого отношения транзитивно и является наименьшим транзитивным отношением, включающим , т.е. , и для любого транзитивного отношения , такого, что , следует .
Как следствие из данной теоремы получаем, что транзитивно тогда и только тогда, если .
Если множество содержит элементов, то имеем
В случае, когда рефлексивно, имеем
Весьма полезным фактором является то, что -уровень транзитивного замыкания нечеткого отношения совпадает странзитивным замыканием соответствующего -уровня:
Заметим, что при транзитивном замыкании нечеткого отношения в общем случае сохраняются лишь некоторые свойства отношения . Такими свойствами являются рефлексивность, симметричность, линейность и транзитивность.
Дата добавления: 2016-12-27; просмотров: 2484;