Треугольные нормы и конормы

Один из подходов к операторам пересечения и объединения за­ключается в их определении в классе треугольных норм и конорм.

Треугольной нормой(t-нормой) называется бинарная операция (двуместная действительная функция)

удовлетворяющая следующим условиям:

1. Ограниченность: .

2. Монотонность: .

3. Коммутативность: .

4. Ассоциативность: .

Примеры треугольных норм

min(μ_A,μ_B)

произведение μ_A·μ_B

max(0, μ_A+μ_B - 1).

Треугольной конормой (сокращенно -конормой) называется двухместная действительная функция

,

удовлетворяющая следующим условиям:

1. Ограниченность: .

2. Монотонность: .

3. Коммутативность: .

4. Ассоциативность: .

Треугольная конорма является архимедовой, если она непрерывна
и для любого нечеткого множества выполнено неравенство .

Она называется строгой, если функция строго убывает по обоим аргументам.

Примеры t-конорм

max(μ_A,μ_B)

μ_A+μ_B-μ_A·μ_B

min(1, μ_A+μ_B).

Примерами треугольных конорм являются следующие операторы:

Треугольная норма T и треугольная конорма S называются дополнительными бинарными операциями, если

T(a,b) + S(1 − a,1 − b) = 1

для .

Наибольшей популярностью в теории Заде пользуются три пары дополнительных треугольных норм и конорм.

1) Пересечение и объединение по Заде:

T_Z(a,b) = min{a,b}, S_Z(a,b) = max{a,b}.

2) Пересечение и объединение по Лукасевичу:

.

3) Вероятностное пересечение и объединение: