Классификация функций принадлежности нормальных нечеткихмножеств
Нечеткое множество называется нормальным, если для его функции принадлежности справедливоутверждение, что существует такой , при котором .
Функция принадлежности класса s
Функция принадлежности класса s определяется как:
где .
Функция принадлежности класса π
Функция принадлежности класса π определяется через функцию класса s:
где .
Функция принадлежности класса γ
Функция принадлежности класса γ определяется как:
Функция принадлежности класса t
Функция принадлежности класса t определяется как:
Функция принадлежности класса L
Функция принадлежности класса L определяется как:
Определим лингвистическую переменную (ЛП) как переменную, значение которой определяется набором словесных характеристик некоторого свойства. Например, ЛП "возраст" может иметь значения
ЛП = МлВ, ДВ, ОВ, ЮВ, МВ, ЗВ, ПВ, СВ ,обозначающие возраст младенческий, детский, отроческий, юношеский, молодой, зрелый, преклонный и старый, соответственно. Множество M - это шкала прожитых человеком лет [0..120]. Функция принадлежности определяет, насколько мы уверены, что данное количество прожитых лет можно отнести к данному значению ЛП. Допустим, что неким экспертом к молодому возрасту отнесены люди в возрасте 20 лет со степенью уверенности 0,8, в возрасте 25 лет со степенью уверенности 0,95, в возрасте 30 лет со степенью уверенности 0,95 и в возрасте 35 лет со степенью уверенности 0,7. Итак:
μ(X1)=0,8; μ(X2)=0,95; μ(X3)=0,95; μ(X4)=0,7;Значение ЛП=МВ можно записать:
МВ = μ(X1) / X1 + μ(X2) / X2 + μ(X3) / X3 + μ(X4) / X4 = = 0,8 / X1 + 0,95 / X2 + 0,95 / X3 + 0,7 / X4 .Таким образом, нечеткие множества позволяют учитывать субъективные мнения отдельных экспертов. Для большей наглядности покажем множество МВ графически при помощи функции принадлежности (рис. 2.7).
Рис. 2.7. График функции принадлежности
Для операций с нечеткими множествами существуют различные операции, например, операция "нечеткое ИЛИ" (иначе ) задается в логике Заде [39], [40]:
μ(x)=max(μ1(x), μ2(x))и при вероятностном подходе так:
μ(x)=μ1(x)+μ2(x)-μ1(x) · μ2(x).Рассмотрим эти операции в виде диаграмм. В ранней статье о нечетких множествах Заде предложил оператор минимума для пересечения и оператор максимума для объединения двух нечетких множеств. Легко видеть, что эти операторы совпадают с четким объединением, и пересечением, если мы рассматриваем только принадлежность к 0 и 1.
Чтобы разъяснять это, рассмотрим несколько примеров. Допустим А есть нечеткий интервал между 5 и 8, а B - нечеткое число, приблизительно 4. Следующая диаграмма показывает нечеткое множество между 5 и 8 И (AND - пересечение) приблизительно 4 (синия линия).
Нечеткое множество между 5 и 8 ИЛИ (OR-объединение) приблизительно 4 показывается в следующей диаграмме (снова, синей линией).
Следующая диаграмма явкяется примером отрицания. Синяя линия - ОТРИЦАНИЕ нечеткого множества A.
Существуют и другие операции над нечеткими числами, такие как расширенные бинарные арифметические операции (сложение, умножение и пр.) для нечетких чисел, определяемые через соответствующие операции для четких чисел с использованием принципа обобщения и т.д.
Baldwin J.F.. Fuzzy logic and fuzzy reasoning. - London, Academic Press, 1981.
Для задания нечеткой истинности Балдвин предложил такие функции принадлежности нечетких "истинно" и "ложно":
где .
Квантификаторы "более-менее" и "очень" часто применяют к нечеткими множествами "истинно" и "ложно", получая таким образом термы "очень ложно", "более-менее ложно", "более-менее истинно", "очень истинно", "очень, очень истинно", "очень, очень ложно" и т.п. Функции принадлежности новых термов получают, выполняя операции концентрации и растяжения нечетких множеств "истинно" и "ложно". Операция концентрации соответствует возведению функции принадлежности в квадрат, а операция растяжения - возведению в степень ½. Следовательно, функции принадлежности термов "очень, очень ложно", "очень ложно", "более-менее ложно", "более-менее истинно", "истинно", "очень истинно" и "очень, очень истинно" задаются так:
;
;
;
;
.
Графики функций принадлежности этих термов показаны на рис. 15.
Рисунок 15 - Лингвистическая переменная "истинность" по Балдвину
Дата добавления: 2016-12-27; просмотров: 3635;