Волны в упругих средах.
Волна – процесс распространения колебаний в пространстве.
В волне в упругой среде (газ, жидкость, твердое тело) происходят колебания малых частиц среды. Продольные волны – частицы среды совершают колебания вдоль направления рас-пространения волны (звуковые волны). Поперечные волны – направление колебаний пер-пендикулярно напрвавлению распространения волны (волна в струне).
Обозначим через смещение частиц среды в волне относительно их положения равновесия. Тогда распределение смещений чатиц вдоль направления распространенния волны имеет вид, представленный на рис. 1. Длина волны – расстояние между ближайшими точками среды, в которых колебания частиц происходят в одинаковой фазе (например, расстояние между двумя “горбами”). Скорость волны – скорость перемещения фазы колебаний частиц (скорость движения “горба”). Поэтому такую скорость называют фазовой скоростью. Из этих определений следует соотношение
, где - период колебаний частиц.
Уравнением волны называют зависимость
.
Волновая поверхность – геометрическое место точек, в которых колебания частиц в волне происходят в одинаковой фазе. В простейшем случае плоской волны волновая поверхность представляет собой плоскость.
Получим уравнение плоской волны. Пусть в плоскости клебания частиц пароисходят по закону , где . Через время фаза колебаний в точке достигнет точки . Следовательно для смещений в точке получим
.
Это соотношение называется уравнением плоской волны. Для записи уравнения волны удобно ввести волновое число - . Тогда и выражение для принимает вид:
. (1)
Такая форма уравнения обычно и используется при рассмотрении волновых процессов. Уравнение (1) описывает волну, распространяющуюся в положительном направлении оси . Для волны в противоположном направлении
.
Мы будем рассматривать волны малой амплитуды. Для таких волн выполняется принцип суперпозиции
.
Он означает, что результатом взаимодействия двух или большего числа волн малой ампли-туды является сумма смещений частиц в каждой волне. Поэтому волны малой амплитуды называют линейными волнами. Волны большой амплитуды явлются нелинейными. Их взаимодействие происходит по более сложным законам.
Уравнение (1) соответствует случаю монохроматической волны ( ). Этот термин сначала возник в оптике, но в дальнейшем стал использоваться и для волн в упругих средах.
Монохроматическая волна явлется некоторой идеализацией. На практике мы обычно имеем дело с ограниченными волновыми возмущениями (волновыми пакетами). Именно такие процессы переносят энергию и импульс в пространстве. При это пакет волн можно предста-вить в виде суммы (или группы) монохроматических волн. Он движется как целое с групповой скоростью. Для выяснения физического смысла этих понятий рассмотрим прос-тейший пример группы волн – две волны с одинаковыми амплитудами и близкими частота- ми и длинами волн:
, ,
где , . По принципу суперпозиции суммарное смещение частиц в пакете
.
Такой процесс называется биением волн. В этом случае основная волна модулируется по амплитуде огибающей волной с малой частотой и большой длиной волны (рис. 2). Очевидно, групповая скорость в нашем случае равна фазовой скорости огибающей волны
.
В пределе при получим
.
Значит, чтобы найти групповую скорость нужно знать зависимость . Такая зависимость называется дисперсионным уравнением. В частности, для звука в газе (нет дисперсии) и в этом случае , то есть групповая скорость совпадает с фазовой. Например, для волн на поверхности воды имеет место дисперсия и .
ЛЕКЦИЯ 17
Дата добавления: 2016-12-27; просмотров: 1409;