Ошибка выборочной средней
Ошибка выборочной средней представляет собой расхождение (разность) между выборочной средней и генеральной средней , возникающее вследствие несплошного выборочного характера наблюдения. Величина ошибки выборочной средней определяется как предел отклонения от , гарантируемый с заданной вероятностью:
где – средняя ошибка выборочной средней.
При повторном отборе средняя ошибка определяется следующим образом:
где – средняя величина дисперсии количественного признака , которая рассчитывается по формуле средней арифметической невзвешенной
или средней арифметической взвешенной
где fi – статистический вес.
Формулы расчета средней ошибки выборочной средней для различных способов отбора выборочной совокупности приведены в табл.4.2.
Межсерийная дисперсия выборочных средних и средняя из выборочных дисперсий типических групп вычисляются следующим образом:
где – среднее значение показателя в i – й серии;
– дисперсия признака x в i – й типической группе;
ni – число единиц в i –й типической группе.
Предельная ошибка выражается следующим образом:
и зависит от вариации изучаемого признака в генеральной совокупности, объема и доли выборки, способа отбора единиц из генеральной совокупности и от величины вероятности, с которой гарантируются результаты выборочного наблюдения.
Средняя величина количественного признака в генеральной совокупности определяется с у четом предельной ошибки выборочной средней
Объем выборки
Определение необходимого объема выборки n основывается на формулах предельных ошибок выборочной доли и выборочной средней. Например, для повторного отбора предельные ошибки равны
отсюда объемы выборок для расчета выборочной доли nw и выборочной средней nx следующие:
Аналогичным образом определяются объемы выборок при различных способах отбора выборочной совокупности. Для серийного отбора определяется число отобранных серий. Формулы расчета приведены в табл.4.3.
Таблица 4.3
Формулы расчета объема выборки
Метод отбора выборки | Объем выборки или число серий для определения | |
выборочной доли | выборочной средней | |
Механический и собственно–случайный повторный отбор | ||
Механический и собственно–случайный бесповторный отбор | ||
Серийный отбор при бесповторном отборе серий | ||
Типический отбор при повторном случайном отборе внутри групп | ||
Типический отбор при бесповторном случайном отборе внутри групп |
где nw, nx – объемы выборок соответственно для определения ошибок выборочной доли и выборочной средней;
rw, rx – число отобранных серий соответственно для определения ошибок выборочной доли и выборочной средней;
– предельные ошибки соответственно выборочной доли и выборочной средней.
Малая выборка
Под малой выборкой понимается такое выборочное наблюдение, численность единиц которого не превышает 20–30 и может составлять 5–6. С увеличением численности выборочной совокупности повышается точность выборочных данных, однако приходится иногда ограничиваться малым числом наблюдений. Эта необходимость возникает, например, при проверке качества продукции, связанной с уничтожением проверяемой единицы продукции. В математической статистике доказывается, что при малых выборках характеристики выборочной совокупности можно распространять на генеральную, но расчет средней и предельной ошибок выборки имеет особенности.
Ранее указывалось, что при большом объеме выборочной совокупности (n > 100) коэффициент , на который необходимо умножить выборочную дисперсию, чтобы получить генеральную, не играет большой роли. Но когда выборочная совокупность небольшая, этот коэффициент необходимо принимать во внимание. Средняя ошибка малой выборки ( ) вычисляется по формуле
где – дисперсия в малой выборке, которая определяется следующим образом:
Предельная ошибка имеет вид
Значение коэффициента доверия зависит не только от заданной доверительной вероятности, но и от численности единиц выборки n . Английский ученый Стьюдент доказал, что в случаях малой выборки действует особый закон распределения вероятности. В табл.4.4 приводятся значения, характеризующие вероятность ( ) того, что предельная ошибка малой выборки не превысит –кратную среднюю ошибку:
Таблица 4.4
Распределение вероятности в малых выборках в зависимости
от значения коэффициента и численности выборки
n | |||||||
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 | 0,626 0,792 0,884 0,933 0,960 | 0,644 0,816 0,908 0,953 0,976 | 0,657 0,832 0,923 0,966 0,985 | 0,662 0,838 0,930 0,970 0,988 | 0,666 0,846 0,936 0,975 0,991 | 0,668 0,848 0,938 0,977 0,992 | 0,670 0,850 0,940 0,978 0,993 |
Дата добавления: 2016-12-16; просмотров: 6466;