Байесовский принцип

Рассмотрим случай, когда технический объект подвергается испытаниям с целью определить возможности его дальнейшего использования. При такой постановке задачи фактически предполагается два возможных состояния объекта:

- состояние, допускающие возможности его дальнейшего использования (вероятность p₁);

- cостояние, исключающие возможность его дальнейшего использования (вероятность p₂).

Соответственно и множество возможных решений D, будет включать два решения:

d₁ - объект находится в состоянии ,

d₂ - объект находится в состоянии .

Пусть объективным признаком возможных состояний является некоторая измеряемая на опыте случайная величина X (например, начальная скорость, износ канала ствола и пр.).

Будем полагать, что закон распределения этой величины известен. При этом для обоих состояний объекта вид закона один и тот же (например, нормальный), но параметры разнятся, так что:

где - M[X] в состоянии ,

- M[X] в состоянии ,

– D[X] в состоянии ,

– D[X] в состоянии ,

Представим плотность и на рисунке:

Выделим на этом рисунке некоторую граничную точку x₀ такую, чтобы при x <x₀ преобладающим является состояние w₁, тогда надо принимать решение d₁, а при x>x₀ – w₂, которому должно соответствовать решение d₂.

Однако, как видно из рисунка, при x>x₀ объект может пребывать в состоянии w₁ с вероятностью:

Это вероятность, с которой может быть принято решение d₂, хотя объект пребывает в состоянии w₁. Цена этого неправильного решения будет С₁₂.

Аналогично при x<x₀ может проявиться состояние w₂ с вероятностью:

Это вероятность принятия неправильного решения d₁, когда в действительности объект находится в состоянии w₂. Цена такого неправильного решения будет C₂₁.

В остальных случаях решения будут правильными с ценами С₁₁ и С₂₂ соответственно. Это так называемые «премии» за правильные решения.

Вероятности, с которыми могут появляться премии, равны:

Таким образом, по итогам испытаний могут быть приняты как правильные, так и неправильные решения и функция потерь при этом может быть представлена матрицей вида:

Как было видно, каждый элемент данной матрицы может появиться на практике с определенной вероятностью, то есть матрице C («матрице платежей») ставится в соответствие матрица вероятностей P:

Здесь p_ij - условные вероятности. Для перехода к безусловным вероятностям надо первую строку матрицы P’ умножить на p₁ (вероятность w₁), а вторую на p₂ (вероятность w₂):

Очевидно, что математическое ожидание C будет некоторой усредненной ценой. Обозначим M[C] = R. Тогда:

(2.1)

Зависимость (2.1) называется функцией среднего риска. Формально это функция, аргументом которой является величина х₀. Естественно потребовать для x₀ такого значения, при котором величина R была бы минимальной, то есть заложить условие:

(2.2)

Значение R = R_min называется байесовским риском.

Правило принятия решений, основанное на байесовском риске, называется байесовским принципом решения на множестве D.

В развернутом виде зависимость (2.1) выглядит следующим образом:

Поэтому:

Откуда:

(2.3)

Обычно С₁₁ = С₂₂ и тогда: (2.4)

Если > λ, то x < x₀ и принимается решение d₁.

В общем случае R – функционал: