Раздел 3. Дисперсионный, корреляционный и регрессионный анализ результатов испытаний

1). Предмет и общая задача статистического анализа.

2). Формы взаимосвязи между переменными в задачах СА. Сущность понятия стохастической зависимости.

3). Частные задачи, виды и основные этапы статистического анализа.

Предмет и общая задача статистического анализа.

Определение вероятностных характеристик случайных величин и процессов по опытным данным и формирование на этой основе соответствующих выводов- предмет теории статистических решений.

Установление причинно-следственных механизмов взаимосвязи между случайными величинами, определяющими состояние и развитие испытываемого объекта или изучаемого явления- предмет статистического анализа (СА).

Задачи СА подразделяются на общую и частные. Рассмотрим суть общей задачи. Ее формулировка предполагает рассмотрение объекта испытаний совместно с характеризующими его переменными величинами. Последние подразделяются на входные и выходные (результирующие). Входные переменные представляют собой характеристики воздействующих на объекты факторов. Поэтому для краткости они именуются просто факторами и обозначаются через Х. Различают управляемые и латентные факторы. Первые представляют собой контролируемые исследователем характеристики, уровни которых он может задавать (фиксировать) с требуемой точностью. Латентные это скрытые, не поддающиеся учету и измерению факторы, в том числе ошибки измерения управляемых факторов. В математических моделях их для краткости именуют остатками и обозначают через Е.

Выходные переменные представляют собой результат преобразования объектом входных переменных, в следствии чего они называются откликами. Отклики принято обозначать через Y.

В общем случае факторы Х и отклики Y суть многокомпонентные случайные векторы, образующие систему (Х, У):

(10.1)

Система (10.1) полностью характеризует объект с точки зрения типовых задач статистического анализа.

По результатам испытаний объекта формируется выборка объемом n, представляющая собой совокупность n опытных значений системы (10.1):

(10.2)

Общая задача СА заключается в том, чтобы на основе опытных данных, представленных выборкой (10.2), сформировать некий оператор A(X,E), связывающий вектор Y с вектором Х и позволяющий наилучшим, в определенном смысле, образом прогнозировать отклик объекта на заданные воздействия (факторы), т.е. получить:

Y=A(X, E) (10.3)

Выражение (10.3) следует рассматривать не как строгое математическое соотношение, а как чисто формальную запись (знаковое представление) тезиса о наличии связи между откликом и факторами. Вопрос о том, в какой форме может проявиться эта связь, рассмотрим ниже. В случае ее конкретизации выражение (10.3) превращается в математическую модель объекта. Поэтому общая задача СА есть не что иное, как задача идентификации объекта по результатам испытаний.

Формы взаимосвязи между переменными в задачах СА. Сущность понятия стохастической зависимости.

В общем случае связь между откликами и факторами может проявиться в одной из форм, представленных в табл. 10.1.

Из табл. 10.1 видно, что результат (отклик) всегда случаен. Но причины этой случайности различны для различных форм зависимости.

Таблица 10.1.

Формы связи между откликом и факторами

Отклик	Факторы	Зависимость	Форма записи	Предмет теории…
Y	x	Функциональная	Y=ϕ(x)+E	Статистических решений
Y	X	функциональная	Y=ϕ(Х)	Статистических решений
Y	x	Стохастическая	Y= (x)	Регрессионного анализа
y	X	Полная стохастическая	Y= (Х)	Корреляционного анализа

Обозначения принятые в табл. 10.1:

х- неслучайный вектор факторов,

Х- случайный вектор факторов,

ϕ(x)- неслучайная функция неслучайных аргументов,

(x)- условное обозначение стохастической зависимости между Х и Y,

(Х)- условное обозначение полной стохастической зависимости между Х и Y.

В случаях функциональной зависимости такими причинами являются либо латентные факторы, либо случайный характер факторов. Оценка результатов испытаний в этих случаях базируется на положениях теории статистических решений и выливается в конечном итоге либо в одно из решений на множестве D, либо в принятие (отклонение) статистической гипотезы, либо в точечную или интервальную оценку исследуемого параметра объекта. В любом из этих случаев нет надобности строить математическую модель объекта, т.к. вид функции ϕ известен заранее. Если же это не так (задачи прогностики), то вид функции ϕ постулируется, а входящие в нее параметры определяются на основе опытных данных методом наименьших квадратов (МНК).

Что же касается случаев стохастической зависимости, то они предполагают построение моделей типа ϕ(x) в качестве самостоятельной задачи оценки результатов испытаний. В связи с этим остановимся подробнее на понятии стохастической зависимости.

Понятие зависимость между компонентами системы случайных величин (X, Y) удобно установить по аналогии с понятием зависимости между событиями А и В, если под событием А понимать выполнение неравенства Х<x, а под событием В- выполнение неравенства Y<y. Тогда величины X и Y независимы, если вероятность совместного наступления этих двух событий для любых x и y равна произведению вероятностей проявления каждого из них, т.е.

P(AB)=P((Х<x)( Y<y))= P(Х<x)P( Y<y)=P(A)P(B)

Заменив вероятности функциями распределения, получим определение независимости в виде равенства:

F(x,y)=F(x)F(y) (10.4)

Если функцию распределения F(x,y) невозможно представить в виде (10.4), то величины X и Y зависимы.

Для непрерывных случайных величин условие (10.4) можно выразить через дифференциальную функцию распределения:

f(x,y)=f(x)f(y) (10.5)

Условия зависимости между X и Y выражается через плотности условных распределений f(y/x) или f(x/y), под которыми подразумевают плотность одной случайной величины при конкретном значении другой, т.е. f(y/x) представляет функцию плотности распределения величины Y, полученную при условии, что случайная величина Х приняла значение х.

Для зависимых случайных величин справедливо соотношение:

f(x,y)= , (10.6)

где и (10.7)

Зависимости (10.7) определяют плотности так называемых маргинальных (предельных) распределений. Используя их можно найти плотности условных распределений:

(10.8)