Обработка результатов эксперимента (заключительные этапы регрессионного анализа).

1). Проверка значимости коэффициентов регрессии.

2). Проверка адекватности модели

Проверка значимости коэффициентов регрессии.

Если целью эксперимента являлось исследование влияния факторов на отклик, то его итогом, как уже отмечалось, будет построение математической модели, которая в простейшем случае, когда постулируется линейная регрессия, имеют вид:

Коэффициенты этой модели являются оценками и, следовательно, нуждаются в проверке их статистической значимости. Такая проверка проводится для каждого из и путём проверки гипотез:

Для чего используется критерий, основанный на статистике Стьюдента

где

Следовательно, при наличии повторных опытов (предполагается ) имеем

Поэтому,

С числом степеней свободы v=N(n-1)

В общем случае, когда различны в разных строках плана, имеем:

и поэтому ,

С числом степеней свободы

Общий случай:

D = D

D

Тогда:

Если , то:

Если , то гипотеза отклоняется и коэффициент признаётся значимым. В противном случае коэффициент статистически незначим и, следовательно, соответствующий фактор не оказывает существенного влияния на отклик, вследствие чего слагаемое из модели исключается. Так осуществляется отсеивание факторов, слабо влияющих на отклик.

По такой же схеме производится проверка значимости коэффициентов всех эффектов взаимодействия, если они присутствуют в математической модели.

Можно проводить эту же проверку путём построения доверительного интервала для каждого из коэффициентов регрессии. Для этого определяются величина:

Где - квантиль t-распределения для доверительной вероятности

Нетрудно видеть, что такой подход является разновидностью первого. Коэффициент значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала.

В общем случае статистическая незначимость коэффициента регрессии может быть вызвана не только слабым влиянием фактора, но и другими причинами, а именно: мал интервал варьирования ; велика ошибка опыта из-за существенного влияния неконтролируемых факторов; значение оказалось близким к точке частного экстремума, в которой . Поэтому решение должно приниматься на основе анализа физической сущности процесса. В любом случае надо стремиться продолжить испытания, расширив интервал по незначимым факторам и принять меры по уменьшению ошибки опыта.

Проверка адекватности модели

Полученная по итогам эксперимента регрессионная модель должна быть проверена на адекватность, т.е. необходимо убедиться в том, что она верно отражает характер процесса и, следовательно, её можно использовать в составлении с целевым предназначением.

Сущность проверки заключается в проверке гипотезы о том, что предсказываемые моделью расчётные значения отклика, обозначаемые через , отклоняются от опытных данных на величину, которая не превышает некоторый наперёд заданный уровень. Формально это сводится к проверке гипотезы о двух дисперсия – дисперсии отклика и, так называемой, дисперсии адекватности . Оценки последней определяются выражением:

= …… ……..(17.1)

Где – расчетное (предсказанное моделью) значение отклика в i-той строке плана;

l- число коэффициентов регрессии, оказавшихся незначимыми.

Зависимость (17.1) используется в тех случаях, когда план эксперимента является регулярным, т.е. когда для всех строк плана. В случае нерегулярности плана используется формула:

,

Напомним, что соответствующие оценки дисперсии отклика определяются зависимостями:

,………..(17.2)

Или

,.(17.3)

Применение формул (17.2) и (17.3) оправданно лишь при условии однородности дисперсий отклика во всех строках плана.

Формулируемая система гипотез имеет вид:

Для проверки используется критерий Фишера, т.е. статистика:

F=

С числом степеней свободы и формула или . Если , то модель считается адекватной. Очевидно, что проверка адекватности возможна при . Когда гипотеза адекватности принимается, модель может использоваться для управления процессом. В случае неадекватности модели возможны следующие решения: переход к нелинейной модели (учёт взаимодействий); продолжение испытаний при уменьшенных интервалах варьирования факторов; продолжение испытаний из нового центра плана.

Рассмотренные процедуры определения значимости коэффициентов регрессии и оценки адекватности модели являются заключительными этапами регрессионного анализа.