Преобразования Галилея. Механический принцип относительности

Из определения инерциальной системы отсчета (это та система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции - первый закон Ньютона: материальная точка, на которую не действуют другие тела (изолированная точка), покоится, либо движется равномерно и прямолинейно) следует, что во всех инерциальных системах отсчета ускорение изолированной материальной точки должно быть равно нулю. Последнее позволяет установить, как должна двигаться относительно инерциальной системы отсчета какая-либо другая система, для того, чтобы она также была инерциальной. Оказывается, что две инерциальные системы отсчета могут двигаться друг относительно друга только поступательно и притом равномерно и прямолинейно.

Рассмотрим две инерциальных системы отсчета: систему XYZ, которую будем условно считать неподвижной, и подвижную систему отсчета X^/Y^/Z^/, скорость поступательного движения которой равна Примем для упрощения задачи, что в начальный момент времени t = 0 начала отсчета O и O’ обеих систем координат и соответствующие оси совпадали. В произвольный момент времени t ¹ 0 взаимное расположение этих систем имеет вид, изображенный на рис. 4.1. Скорость подвижной системы координат направлена вдоль прямой OO^/, радиус-вектор, проведенный из O в O^/, можно определить как:

Положение произвольной точки М в неподвижной и подвижной системах отсчета определяются радиус-векторами и (см. рис. 4.1), причем

(4.1.1,а)

В проекциях на оси координат уравнение (4.1.1,а) можно записать в следующем виде:

(4.1.1,б)

В классической ньютоновской механике принимают, что ход времени не зависит от относительного движения системы отсчета. Поэтому систему уравнений (4.1.1,б) можно дополнить еще одним: t = t^/. Выражения (4.1.1,а) и (4.1.1,б) называют преобразованием Галилея.

Дифференцируя уравнение (4.1.1,а) по времени, и учитывая, что найдем соотношение между скоростями и ускорениями точки М относительно обеих систем:

(4.1.2)

Первое уравнение в (4.1.2) называют законом сложения скоростей в классической механике. Если точка М не подвержена действию других тел, то Так как (из (4.1.2)), рассматриваемая нами подвижная система действительно является инерциальной – изолированная материальная точка либо движется относительно нее равномерно и прямолинейно, либо покоится.

В общем случае силы взаимодействия между телами зависят от взаимного расположения этих тел и от скорости их движения друг относительно друга. Из соотношений (4.1.1,а) и (4.1.2) следует, что для любых двух материальных точек 1 и 2 можно получить: и Следовательно, силы, действующие на данную материальную точку (или тело) со стороны других тел, одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, то есть

(4.1.3)

Из уравнений (4.1.2) и (4.1.3) для инерциальных систем отсчета получим, что Таким образом, из приведенного выше материала следует, что инвариантами (инвариант – физическая величина, которая не зависит от выбора системы отсчета и является одинаковой во всех инерциальных системах) в механике Ньютона являются: 1) интервал времени (Dt = t₂ – t₁), 2) длина отрезка ( ), 3) масса (m), а также производных от них: 4) ускорение ( ) и сила ( ).

Итак, уравнения Ньютона для материальной точки, а также для произвольных систем материальных точек одинаковы во всех инерциальных системах отсчета – инвариантны по отношению к преобразованию Галилея. Этот результат называется «механическим принципом относительности» (принципом относительности Галилея) и часто формулируется следующим образом: равномерное и прямолинейное замкнутой системы движение (относительно какой-либо инерциальной системы отсчета) не влияет на закономерности протекания в ней механических процессов. Следовательно, в механике все инерциальные системы отсчета совершенно равноправны. Другими словами, нельзя выделить из множества инерциальных систем отсчета какую-то «главную» инерциальную систему отсчета, которая обладала бы какими-либо преимуществами перед другими (так что движение тел относительно нее можно было бы рассматривать как «абсолютное движение», а покой – как «абсолютный покой»).