Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы при наличии сил сопротивления. Коэффициент динамичности

Вынужденными называются колебания механической системы, на массу которой кроме восстанавливающей силы, силы сопротивления и силы инерции действует еще возмущающая сила, изменяющаяся во времени.

Наибольшее практическое значение для расчета промышленных сооружений имеет гармоническая нагрузка, т.е. нагрузка, изменяющаяся во времени по закону синуса или косинуса, например сосредоточенная сила

P(t) = P sin θt, (16)

где Р — амплитуда возмущающей силы;

θ — круговая частота возмуща­ющей силы.

По гармоническим законам изменяются вертикальная (Р_у) и горизон­тальная (Р_х) составляющие центробежной силы, возникающей при наличии неуравновешенной массы m, равномерно вращающейся части машины (рис. 5).

Рис. 5

Если к системе с одной степенью свободы, например к балке, показанной на рис. 1, приложена гармоническая возмущающая сила Р(t), то кроме сил R, F и X, в уравнение динамического равновесия войдет и сила P(t) и тогда вместо одного дифференциального уравнения (5) получим неоднородное, т.е. уравнение с правой частью:

у" + y′ + y =(P/m) sin θt. (17)

Полное решение этого уравнения состоит из общего решения соответ­ствующего однородного уравнения (5) и частного решения уравнения (17), представленного в таком виде

у = a₀e^-kt/^2m sin (wt + 𝜑₀) + μу_ст sin )(θt – ε). (18)

Первый член этого уравнения выражает свободные колебания, а вто­рой — вынужденные.

Как было показано выше, свободные колебания быстро затухают благо­даря силам сопротивления и тогда устанавливаются вынужденные коле­бания с частотой θ.

Во второй член формулы (18) входят следующие величины:

ε — сдвиг фазы вынужденных колебаний по отношению к колебаниям возмущающей силы,

μ — динамический коэффициент гармонической нагрузки, показываю­щий, во сколько раз ее динамическое действие превышает статическое дей­ствие ее амплитуды:

μ = . (19)

Амплитуды вынужденных колебаний и динамические коэффициенты благодаря затуханию уменьшаются и даже при резонансе, т. е. при совпа­дении частот собственных и вынужденных колебаний остаются конечными, хотя и могут оказаться опасными.